Matrizen: Zeigen Sie, dass wenn A ∈ ℝ^2x2, dann x(Ay) = ((A^T)x)y.

Question

Aufgabe:

Für x ∈ ℝ^2x1 und y ∈ ℝ^2x1 definieren wir: x*y = x^T*y.
Zeigen Sie, dass wenn A ∈ ℝ^2x2, dann x(Ay) = (A^Tx)y.

Problem/Ansatz:

Ich bin erstmal generell sehr verwirrt von der Aufgabe gewesen, weil ich nicht verstehe, wie xy = x^Ty gelten soll. Habe es dann trotzdem versucht (und mal ignoriert, dass ich diese Voraussetzung komisch finde), komme aber leider nicht weiter.

Ich wollte das Ganze von hinten aufrollen, da ich so besser klarkomme. Also wollte ich für mich erstmal zeigen, dass (A^Tx)y = x(Ay).

Ich habe: (A^Tx)y = A^T(xy) = A^T(x^Ty) = (A^Tx^T)y = (xA)^Ty = ..... = x(Ay).

Ich weiß nun also nicht, wie ich an der einen Stelle weitermachen könnte.

Ich freue mich über jeden Tipp!

Answer 1

Aloha :)

$$x^T(Ay)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\left(\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\binom{y_1}{y_2}\right)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\binom{a_{11}y_1+a_{12}y_2}{a_{21}y_1+a_{22}y_2}$$$$\phantom{x^T(Ay)}=(a_{11}x_1y_1+a_{12}x_1y_2)+(a_{21}x_2y_1+a_{22}x_2y_2)$$$$\phantom{x^T(Ay)}=(a_{11}x_1y_1+a_{21}x_2y_1)+(a_{12}x_1y_2+a_{22}x_2y_2)$$$$\phantom{x^T(Ay)}=\begin{pmatrix}a_{11}x_1+a_{21}x_2 & a_{12}x_1+a_{22}x_2\end{pmatrix}\binom{y_1}{y_2}$$$$\phantom{x^T(Ay)}=\left(\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21}\\a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}\right)\binom{y_1}{y_2}$$$$\phantom{x^T(Ay)}=(A^Tx)y$$