Hallo liebes Forum, ich habe folgende Probleme mit dieser Aufgabe:
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 2. Ordnung ∂1∂2f und ∂2∂1f der Funktion f : ℝ2 → ℝ, gegeben durch
f(x1, x2) = { \( \frac{x_1*x_2^3}{x_1^2+x_2^2} \), (x1,x2) ≠ (0,0)
0, (x1,x2) = (0,0)
Also die 1 partiellen Ableitungen hätte ich bereits mit der Quotientenregel berechnet und ich habe erhalten:
1 Fall (x1,x2) ≠ (0,0)
∂1f = \( \frac{-x_1^2x_2^3+x_2^5}{(x_1^2+x_2^2)^2} \) ∂2f = \( \frac{3x_2^2x_1^3+x_1x_2^4}{(x_1^2+x_2^2)^2} \)
2 Fall da nicht nach den ersten partiellen Ableitungen für (x1,x2) = (0,0) gefragt wurde kann ich die auch weglassen, sie sind aber jeweils 0.
Für die 2 partielle Ableitung habe ich im Fall (x1,x2) ≠ (0,0)
∂1∂2f = \( \frac{-3x_1^4x_2^2+6x_1^2x_2^4+x_2^6}{(x_1^2+x_2^2)^3} \) = ∂2∂1f
Ich weiss leider nicht sicher, ob bis hier her alles korrekt errechnet ist. Jetzt kommt mein großes Probelm im Fall
(x1,x2) = (0,0)
Wir haben in der Übung uns etwas notiert was so aussieht:
∂1∂2f(0,0) = lim t → 0 \( \frac{∂_2f(t,0)-∂_2f(0,0)}{t} \)
und ∂2∂1f = lim t → 0 \( \frac{∂_1f(0,t)-∂_1f(0,0)}{t} \)
demnach hätte ich für
∂1∂2f(0,0) = lim t → 0 \( \frac{∂_2f(t,0)-∂_2f(0,0)}{t} \) = 0
und
∂2∂1f = lim t → 0 \( \frac{∂_1f(0,t)-∂_1f(0,0)}{t} \) = \( \frac{t^5}{t^4} \) = t
aber das kann doch nicht stimmen!!!
Ich würde mich sehr darüber freuen, falls mir jemand meine Verwirrung lösen könnte.^^
