Existenzbeweis des ggT von drei Zahlen

Question

Aufgabe:

Hi, ich soll die Existenz des ggT(a, b, c) also von drei zahlen beweisen. Im Wortlaut: Beweise, dass der ggT von drei Zahlen aus N immer existiert.

Problem/Ansatz:

Ich finde überhaupt keinen Ansatz wie ich diesen beweis gestalten soll. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Sei a die kleinste der drei Zahlen. Da der Teiler einer von 0 verschiedenen Zahl nicht größer sein kann als die Zahl selbst, musss T_a (die Menge aller Teiler von a) eine Teilmenge von {1,2,3,...,a}  und somit endlich sein. Da gemeinsame Teiler von a,b,c auch Teiler von a sein müssen, ist auch die Menge der gemeinsamen Teiler von a,b und c eine Teilmenge von {1,2,3,...,a}.

Da die Zahl 1 ein Teiler von a, von b und von c ist, ist die Menge der gemeinsamen Teiler von a, b und c schon mal nicht leer.

Die Menge der gemeinsamen Teiler enthält also mindestens 1 Element in Form von 1, und möglicherweise noch weitere Elemente. Unter endlich vielen verschiedenen Elementen gibt es ein größtes Element...

Der ggT muss also existieren...

Comments

Vielen Dank für den Beweis. Ich frage mich jedoch, wo diese Aussage herkommt?

ggT(a, b, c) = ggT( ggT(a,b),c).

Im weiteren Verlauf der Aufgabe soll nämlich die nachfolgende Aussage bewiesen werden.

Im Wortlaut: Beweise: ggT(a,b,c)=ggT(a,ggT(b,c)).

Answer 2

ggT(a, b, c) = ggT( ggT(a,b),c).

Comments

Das ist kein Beweis, sondern nur eine hingeworfene neue Behauptung.

Du müsstest jetzt zudem noch beweisen, dass der ggT von zwei Zahlen stets existiert.

---

Also für das Vorgehen: ich beweise quasi, dass der ggT(a,b) existiert. und dann dass gilt ggT(ggT(a,b),c) existiert?

---

Also für das Vorgehen: ich beweise quasi, dass der ggT(a,b) existiert.

Nein, das müsste höchstens mathef machen...

---

Naja das bringt mich der Lösung meiner Aufgabe ja nicht näher. Die Existenz des ggT's zweier natürlicher Zahlen ist ja relativ leicht zu beweisen:

Da a und b aus N kommen und somit gilt das die gemeinsamen positiven Teiler also quasi GT⁺ (a,b)⊆N eine nicht leere endliche Teilmenge ergeben, muss diese Menge ja ein größtes Element besitzen, da jede endliche Teilmenge von N ein größtes Element hat. Dieses kann man als ggT(a,b) bezeichnen.

Nur wie bringt mich diese Erkenntnis weiter. Bzw. wie gehe ich das mathematisch korrekt weiter an?

---

ggT(a, b, c) = ggT( ggT(a,b),c).

Anscheinend existieren ja Rechenregeln die diesen Beweis relativ leicht wirken lassen..