Zeigen Sie, dass die Familie {x,phi(x),....} eine Basis von V ist.

Question

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit $\operatorname{dim}(V)=n$. Sei $\varphi: V \rightarrow V$ eine lineare Abbildung sodass $\varphi^{(n)}:=\underbrace{\varphi \circ \cdots \circ \varphi}_{n \text {-mal }}=0$ und $\varphi^{(n-1)} \neq 0$. Sei $\mathrm{x} \in V \operatorname{sodass} \varphi^{(n-1)}(\mathrm{x}) \neq 0$.

Zeigen Sie, dass die Familie
$\left\{\mathrm{x}, \varphi(\mathrm{x}), \varphi^{(2)}(\mathrm{x}), \ldots, \varphi^{(n-1)}(x)\right\}$
eine Basis von $V$ ist.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

bin hier bei dieser Aufgabe etwas verloren hoffe mir kann wer weiterhelfen

Answer 1

Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/945922/sei-v-ein-k-vektorraum-mit-dim-v-n

Answer 2

Wenn die $\phi^i(x);0\leq i \leq n-1$ Basis sein sollen, dann müssen die $\phi^i(x)$ paarweise linear unabhängig sein :

 $\alpha \phi^i (x)+\beta \phi^j (x)=0;i<j<n \Rightarrow \phi^i (\alpha x +\beta \phi^ {j-i}(x))=0 \Rightarrow \alpha x +\beta \phi^{j-i}(x)=0$. Bei linearer Abhängigkeit wäre   $\phi^{j-i}(x)=\frac{\alpha}{\beta}x$     und damit alle $\phi^i (x)=a_i x$ , also $\phi^n (x)=\phi(a_{n-1} x)=a_{n-1} \phi(x)=a_{n-1} a_0(x)\neq 0$