Wie berechnet man eine Drehmatrix

Question

Aufgabe:

Ein kartesisches Koordinatensystem eines zweidimesnionalen Raumes wird im positiven mathematischen Sinn gedreht um 30° um den Ursprung. Der Übergang von alten zu den neuen Koordinaten wird durch eine lineare Abbildung beschrieben:

Es soll die Matrix berechnet werden bzw. was steht in der Matrix die die Koordinatentransformation wiederspiegelt?

Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Answer 1

Eine Drehung von (x,y) zu (x',y') entgegen dem Uhrzeigersinn um α Grad (und somit im positiven Sinn bezogen auf den Winkelverlauf 0 bis 360) errechnet sich durch

x' = x*cos(α) - y*sin(α)

y' = x*sin(α) + y*cos(α)

Beispiel (1,5) um 30 Grad drehen: ergibt (-1.63, 4.83)

Die Drehmatrix lautet:

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(α) & -sin(α) \\ sin(α) & cos(α) \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Comments

Vielen Dank.

Wenn ich einen Punkt aus dem alten Koordiatensystem z.B P(1,4) nun im neuen berechnen müsste. Wie würde man da vorgehen?

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Den Winkel alpha festlegen und dann die Drehmatrix anwenden, z.B. alpha=30°:

x' = 1*cos(30°) - 4*sin(30°)
y' = 1*sin(30°) + 4*cos(30°)

(x',y') = ( -1.134, 3.964 )