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Aufgabe:

Die Höhe h=8 cm einer geraden Pyramide mit der unten angegebenen Basisfläche liegt auf der x-Achse.

1)Gib die Querschnittsfläche A als Funktion der Schnitthöhe x an
2)Ermittle das Volumen mittels Integralrechnung
3) Überprüfe die Berechnung des Volumens mit elementaren Formeln.
a) Die Basis ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlängen a=3 cm
b) Die Basis ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a=4 cm und b=5cm


Problem/Ansatz:

bitte bitte hilft mir dabei ich wäre sehr dankbar

von

1 Antwort

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Zunächst einmal du eine Funktion A(x), welche die Querschnittsfläche beschreibt konstruieren.

Ich verstehe die Aufgabe so, dass du dies einmal für eine Rechtecks- und Dreieckspyramide machen sollst.

Zunächst ist die Formel für die jeweiligen Grundflächen: Rechtecksfläche AR = a*b , gleichseitiges Dreieck $$A_D= \frac{\sqrt{3}}{4}*a^2$$  

1)

Nun hängen diese Fläche natürlich von der Höhe x des Querschnitts ab, also AR(x)= a(x)*b(x) beim Rechteck, gleichseitiges Dreieck $$A_D(x)= \frac{\sqrt{3}}{4}*a(x)^2$$

Es ist klar, dass diese Flächen jeweils kleiner mit wachsender Höhe werden müssen, zu dem ist von einem linearen Abfall auszugehen, da die Pyramide gleichmäßig schmaler wird.

blob.png

In $$ A_R(x)=a*b*(1-x/h)^2 $$ und $$ A_D(x)=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2(1-x/h)^2 $$ einsetzen.

2) Diese Querschnitte kann man als infinitesimal dünne "Scheiben" mit der Dicke dx betrachten, so dass das Volumen einer Scheibe durch A(x)*dx gegeben ist.

 $$V_R=ab\int \limits_{0}^{h}(1-\frac{x}{h})^2dx=ab\frac{\text{h}}{3}$$

$$V_D=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\int \limits_{0}^{h}(1-\frac{x}{h})^2dx=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \frac{\text{h}}{3}$$

3) Formelsammlung


PS: In meiner Vorschau wird der Latex-Text teiwleise nicht richtig angezegit, hoffe dass sieht nach dem posten anders aus, ansonsten Stellen kopieren und einfügen:

https://www.matheretter.de/rechner/latex

von

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