Zeigen Sie, dass ein X0 esxistiert mit F(X0) = X0.

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass ein X0 esxistiert mit F(X0) = X0. (Dieses X0 heißt dann Fixpunkt von F.)Upload failed: [object Object]

Problem/Ansatz: Wie werden 1 und 2 gelöst? Ich bedanke mich im Voraus.

1. Seien $a, b$ reelle Zahlen mit $a<b$. Sei $F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion mit $F([a, b]) \subseteq[a, b]$
a) Zeigen Sie, dass ein $x_{0} \in[a, b]$ existiert mit $F\left(x_{0}\right)=x_{0}$. (Dieses $x_{0}$ heißt dann Fixpunkt von $F$.)
Tipp: Untersuchen Sie $f(x):=F(x)-x$.
b) Geben Sie eine Funktion $f_{1}:[0,1] \rightarrow[0,1]$ an, die keinen Fixpunkt hat.
c) Geben Sie eine stetige Funktion $f_{2}:(0,1) \rightarrow(0,1)$ an, die keinen Fixpunkt hat.
2. Zeigen Sie, dass die Gleichung
$\frac{1}{1+x^{2}}=\sqrt{x}, \quad x \in\{x \in \mathbb{R}: x \geq 0\}$
eine reelle Lösung besitzt.
(Sie müssen die Lösung nicht berechnen.)

Comments

Hallo

hast du mal den Tip und den ZWS angesehen?

bei b) suchst du eine unstetige Funktion. zeichne f(x)=x und such dann ein f das die Gerade nirgends in [0,1] schneidet

c) ZWS für die Differenz such einen x mit Differenz<0 und einen mit x>0

lul

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Hi,

nein hab ich nicht. Sind die?

Lg

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Ich wollte schreben "was sind die" ?

Answer 1

1a)
Da F(x) im Intervall [a,b] stetig ist, ist auch die Funktion g(x) = F(x) - x dort stetig.

Die Nullstellen von g(x) sind die Fixpunkte von F(x), denn dann gilt F(x) = x.

Wegen a <= F(x) <= b im Intervall [a,b] gilt

F(a) >= a, daraus folgt g(a) = F(a) - a >= 0
F(b) <= b, daraus folgt g(b) = F(b) - b <= 0

g(x) hat aufgrund des Vorzeichenwechsels mindestens eine Nullstelle im Intervall [a,b], und damit hat F(x) mindestens einen Fixpunkt im Intervall [a,b].

1b)

f(x) = 1-x für 0 <= x < 0.5
f(x) = x-0.5 für 0.5 <= x <= 1

1c)

f(x) = x² im Intervall (0,1)

2)

$\frac{1}{1+x^2} = \sqrt{x}$ , x = 0 ist keine Lösung, daraus folgt:

$1+x^2 = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Wegen x € R können beide Seiten quadriert werden:

$(1+x^2)^2 = \frac{1}{x}$

$(x^4+2x^2+1)*x = 1$

$x^5+2x^3+x-1 = 0$

Polynome ungeraden Grades über den reellen Zahlen haben mindestens eine reelle Nullstelle x0. Aufgrund der Quadration gilt x0 > 0 . Somit ist auch $\sqrt{x0}$ eine reelle Lösung.