1a)
Da F(x) im Intervall [a,b] stetig ist, ist auch die Funktion g(x) = F(x) - x dort stetig.
Die Nullstellen von g(x) sind die Fixpunkte von F(x), denn dann gilt F(x) = x.
Wegen a <= F(x) <= b im Intervall [a,b] gilt
F(a) >= a, daraus folgt g(a) = F(a) - a >= 0
F(b) <= b, daraus folgt g(b) = F(b) - b <= 0
g(x) hat aufgrund des Vorzeichenwechsels mindestens eine Nullstelle im Intervall [a,b], und damit hat F(x) mindestens einen Fixpunkt im Intervall [a,b].
1b)
f(x) = 1-x für 0 <= x < 0.5
f(x) = x-0.5 für 0.5 <= x <= 1
1c)
f(x) = x2 im Intervall (0,1)
2)
1+x21=x , x = 0 ist keine Lösung, daraus folgt:
1+x2=x1
Wegen x € R können beide Seiten quadriert werden:
(1+x2)2=x1
(x4+2x2+1)∗x=1
x5+2x3+x−1=0
Polynome ungeraden Grades über den reellen Zahlen haben mindestens eine reelle Nullstelle x0. Aufgrund der Quadration gilt x0 > 0 . Somit ist auch x0 eine reelle Lösung.