Bräuchte Hilfe bei diesen Aufgaben. Wäre echt super wenn jemand eine davon vorrechnet damit ich es verstehe und anwende.

Question

Text erkannt:

a) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(x+4)^{k} \)
b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(k+4) x^{k} \)
c) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{4^{k}(k+3)^{2}}(x+5)^{k} \)
d) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{3^{k}}{\sqrt{k+4}}(x-5)^{k} \),
e) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(k+3)^{k}}{k^{k}} x^{k} \)
f) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} 3^{k}(x-5)^{2 k} \)
i) Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius \( r \) für diese Potenzreihen.
ii) Bestimmen Sie jeweils alle \( x \in \mathbb{R} \), für die die Potenzreihen konvergieren.

Comments

Falls es der Person leicht fällt wäre ich auch für mehr als eine dankbar :)

Answer 1

Der Konvergenzradius \(r\) der Potenzreihe

        \(\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot (x-x_0)^k\)

kann mit der Formel von Cauchy-Hadamard

        \(r = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}}\)

oder mittels

      \(r = \lim\limits_{k\to\infty\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|}\)

berechnet werden.

i) Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius \(r\) für diese Potenzreihen.

In eine der beiden Formeln einsetzen.

ii) Bestimmen Sie jeweils alle \( x \in \mathbb{R} \), für die die Potenzreihen konvergieren.

Die Reihe konvergiert, wenn \(|x - x_0| < r\) ist.

Die Reihe divergiert, wenn \(|x - x_0| > r\) ist.

Wenn \(|x - x_0| = r\) ist, dann kann sowohl Honvergenz, als auch Divergenz eintreten. Das untersucht man, indem man die entsprechenden Werte für \(x\) einsetzt und die entstandene Reihe mit den bekannten Konvergenzkriterien untersucht.