Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ N, n 1 gilt k=2 bis n (1-1/k) = 1/n

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass fur alle n ∈ N, n > 1 gilt

\( \prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{n} . \)

Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich nicht, wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll und sie per Induktion lösen soll. Ich hoffe, dass mir hier jemand erklären kann, wie ich diese Aufgabe lösen kann.

Vielen dank

Answer 1

Induktionsanfang: n=2

$$\prod_{k=2}^2(1-1/k)=1-1/2=1/2=1/n$$

Stimmt also für n=2

Induktionsannahme: Sei die Formel wahr für ein beliebiges, aber festes n>1.

Induktionsschritt: n->n+1

$$\prod_{k=2}^{n+1}(1-1/k)=(\prod_{k=2}^n(1-1/k))(1-1/(n+1))$$

Setze Induktionsannahme ein:

$$=1/n*(1-1/(n+1))=(1/n)*(n/(n+1))=1/(n+1)$$

Damit ist die Gleichung nach dem Prinzip der vollständigen Induktion für alle n>1 gezeigt.

Qed.

Answer 2

Hallo

1. zeigen gilt für n=2

2. Formel als Induktionsvoraussetzng, 3. diese mit dem Faktor für k=n+1 multiplizieren, 4. verifizieren dass das 1/(n+1) gibt

Gruß lul

Answer 3

Das wesentliche ist der Induktionsschritt n->n+1:$$\prod_{k=2}^{n+1}(1-\frac{1}{k})=(\prod_{k=2}^n(1-\frac{1}{k}))\cdot(1-\frac{1}{n+1})=\\ \stackrel{IV}{=}\frac{1}{n}(1-\frac{1}{n+1})= ...$$

Comments

Oh sorry, da hat wohl meine Minus-Taste geklemmt.
Vielen Dank ;-)

Habe es korrigiert.