
Ohne Beschränkug kann die Lösung auf R2 reduziert werden. Die Koordinaten eines Parallelogramms lauten
A=(0,0), B=(Bx,0), D=(Dx,Dy), C=(Bx+Dx,Dy)
Länge der Diagonalen d2(AC) = (Bx+Dx)2 + Dy2
Länge der Diagonalen d2(BD) = (Bx-Dx)2 + (-Dy)2
Wenn die Diagonalen gleich lang sind, gilt
(I) d2(AC) = d2(BD)
(I) (Bx+Dx)2 + Dy2 = (Bx-Dx)2 + (-Dy)2
(I) Bx2 + 2*Bx*Dx + Dx2 + Dy2 = Bx2 - 2*Bx*Dx + Dx2 + Dy2
(I) 2*Bx*Dx = - 2*Bx*Dx
Daraus folgt Bx = 0 oder Dx = 0
Skalarprodukt:
(AB)*(AD) = (Bx,0)*(Dx,Dy) = Bx*Dx
(CD)*(CB) = (-Bx,0)*(-Dx,-Dy) = Bx*Dx
Wegen Bx = 0 oder Dx = 0 steht der Vektor AD senkrecht auf AB, und der Vektor CD senkrecht auf CB. Also muss ABCD ein Rechteck sein.