Zeigen Sie, dass die Abbildung X → AX − XA eine lineare Abbildung V → V definiert, und bestimmen Sie die …

Question

Aufgabe:

Sei k ein Körper, V der Vektorraum der n × n-Matrizen über \(\mathbb K\), A eine feste n × n-Matrix. Zeigen Sie, dass die Abbildung X → AX − XA eine lineare Abbildung V → V definiert, und bestimmen Sie die Determinante dieser Abbildung.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist uns die Abbildung:$$f\colon V\to V\,,\,X\mapsto(AX-XA)\quad;\quad A\in V=\mathbb K^{n\times n}$$

zu a) Prüfung als Linearität:

Für \(X,Y\in V\) und \(a\in \mathbb K\) gilt:$$f(aX+Y)=A(aX+Y)-(aX+Y)A=aAX+AY-aXA-YA$$$$\phantom{f(aX+Y)}=a(AX-XA)+(AY-YA)=af(X)+f(Y)\quad\checkmark$$

zu b) Bestimmung der Determinante:

Für die Null-Matrix \(\mathbf 0_n\) und für die Einheitsmatrix \(\mathbf 1_n\) gilt:$$f(\mathbf 0_n)=A\cdot\mathbf 0_n-\mathbf 0_n\cdot A=\mathbf 0_n-\mathbf 0_n=\mathbf 0_n$$$$f(\mathbf 1_n)=A\cdot\mathbf 1_n-\mathbf 1_n\cdot A=A-A=\mathbf 0_n$$Das die Null-Matrix \(\mathbf 0_n\) von zwei verschiedenen Argumenten getroffen wird, ist die Abbildung \(f\) nicht injektiv und daher auch nicht bijektiv. Das heißt, die Abbildung ist nicht umkehrbar, sodass ihre Determinante Null sein muss:$$\operatorname{det}(XA-AX)=0$$