Sei f : ℝ^7 → ℝ^5 die lineare Abbildung f(x) = Ax mit Bestimmen Sie den Rang von f.

Question

Sei f : ℝ⁷ → ℝ⁵ die lineare Abbildung f(x) = Ax mit

\( A=\left(\begin{array}{ccccccc}{7} & {5} & {-9} & {-3} & {8} & {1} & {-10} \\ {3} & {3} & {-3} & {-2} & {3} & {0} & {-3} \\ {2} & {3} & {-1} & {-3} & {4} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {1} & {-1} & {0} & {1} & {3} \\ {-1} & {-1} & {1} & {1} & {-2} & {1} & {2}\end{array}\right) \)

Bestimmen Sie den Rang von f.

Answer 1

Mit dem Gauss-Algorithmus bekomme ich

unten eine Nullzeile, also wäre rang=4

Answer 2

Aloha :)

Wenn du den Rang einer Matrix bestimmen möchtest, kannst du sie mittels elementaren Zeilenumformungen auf Dreiecksform bringen. Die Anzahl von Zeilen, die mindestens einen von \(0\) verschiedenen Eintrag enthalten, ist dann der Rang.$$\left(\begin{matrix} 7 & 5 & -9 & -3 & 8 & 1 & -10 \\ 0 & \frac{6}{7} & \frac{6}{7} & \frac{-5}{7} & \frac{-3}{7} & \frac{-3}{7} & \frac{9}{7} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-5}{6} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{7}{5} & \frac{7}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$$Die letzte Zeile ist eine "Nullzeige", der Rang ist also gleich \(4\).