Lösen der Differentialgleichung mit Variation des Konstanten

Question

Aufgabe

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung!

Hallo! Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe die einzelnen Schritte erklären? Ich bin mir nicht sicher wie ich hier vorzugehen habe, aufgrund des Hinweises. Ich habe es mit dieser Variation vorher nie gemacht... Danke!

Problem/Ansatz

\(y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\frac{1}{x e^{2 x}}, \quad x>0 .\)

Hinweis: Variation der Konstanten.

Antwort: \( y(x)=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{-2 x}+\ln (x) x e^{-2 x} \)

Answer 1

Hallo,

1.Berechnung der homogenen Lösung:

Ansatz: y= e^( kx) , 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen:

---->Charakt.Gleichung: k^2 +4k+4=0 --->k1,2= -2

yh= C₁ e^(-2x) +C₂ e^(-2x) *x

2. Bilden der Wronski Determinante:

--->y₁= e^(-2x)

y₂= e^(-2x) x

W(x)  =

| y₁   y₂    |

| y_1'  y_2' |     =  e^(-4x)

f(x)= 1/( x e^(2x))

3.) C₁(x)=  - ∫  \( \frac{f(x) y2(x)}{W(x)} \)  dx= -x

4.) C₂(x)=  ∫  \( \frac{f(x) y1(x)}{W(x)} \) dx= ln(x)

5.) y_p= C₁(x) y1(x)+C₂(x) y2(x)= e^(-2x) x (ln(x) -1) ---->Variation der Konstanten

6.)y=y_h +y_p=C₁ e^(-2x) +C₂ e^(-2x) *x + e^(-2x) x (ln(x) -1)