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Auf Grund des Gravitationsgesetzes beschreibt das Anfangswertproblem
mr''= −γ(Mm/r2), r(0) = R, r'(0) = v0
die Flugbahn eines Körpers der Masse m zur Erde hin bzw. von der Erde weg. Dabei ist r(t) der Abstand des Körpers vom Erdmittelpunkt zur Zeit t, M die Erdmasse, und die Gravitationskonstante ist mit γ bezeichnet.
(a) Forme geeignet um, und führe die Differentialgleichung in eine Differentialgleichung erster Ordnung über  entstehende Gleichung muss nicht gelöst werden. Berücksichtige die Anfangsbedingungen.
(b) Es soll die kleinste Geschwindigkeit v0 (Fluchtgeschwindigkeit von der Erde, zweite kosmische Geschwindigkeit) ermittelt werden, für die die Bewegung bis ins Unendliche reicht, also nicht umkehrt. Dem entsprechen die beiden Forderungen r(t) → ∞ und r'(t) → 0 für t → ∞.
(M = 5.97 · 1024 kg, γ = 6.673 · 10−11 m3kg−1s−2, R = 6.370 · 106 m)
(c) Löse das Anfangswertproblem, falls v0 die zweite kosmische Geschwindigkeit ist.


danke im voraus

vor von

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Aloha :)

Wir haben folgende Differentialgleichung gegeben:$$mr''(t)=-\gamma\,\frac{Mm}{r^2}\quad;\quad r(0)=R\;;\;r'(0)=v_0$$

a) Umformung in eine Differentialgleichung 1-te Ordnung

$$mr''(t)=-\gamma\,\frac{Mm}{r^2}\quad\bigg|\cdot r'(t)$$$$m\,r''(t)\,r'(t)=-\gamma\,Mm\,\frac{r'(t)}{r^2(t)}\quad\bigg|\text{integrieren}$$$$m\int\limits_{\tau=0}^t\,r''(\tau)\,r'(\tau)\,d\tau=-\gamma\,Mm\int\limits_{\tau=0}^t\frac{r'(\tau)}{r^2(\tau)}\,d\tau$$$$m\left[\frac{(r')^2(\tau)}{2}\right]_{\tau=0}^t=\gamma\,Mm\left[\frac{1}{r(\tau)}\right]_{\tau=0}^t$$$$\frac12m(r')^2(t)-\frac12mv_0^2=\gamma\,Mm\left(\frac{1}{r(t)}-\frac1R\right)$$

b) Fluchtgeschwindigkeit von der Erde bestimmen

Im Grenzübergang \(t\to0\), \(r(t)\to\infty\) und \(r'(t)\to0\) geht diese Gleichung über in:$$\frac12m\cdot0^2-\frac12mv_0^2=\gamma Mm\left(0-\frac1R\right)\implies\frac12mv_0^2=\gamma\,\frac{M\,m}{R}\implies v_0^2=\frac{2\gamma M}{R}\implies$$$$v_0^2=\frac{2\cdot6,673\cdot10^{-11}\,\frac{\mathrm m^3}{\mathrm{kg}\,\mathrm s^2}\cdot5,97\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}}{6,370\cdot10^6\,\mathrm m}\approx125\,079\,466\,\frac{\mathrm m^2}{\mathrm s^2}\implies$$$$ v_0\approx11,18\,\frac{\mathrm {km}}{\mathrm s}$$

c) Lösung des Anfangswertproblems

Ist nun \(v_0^2=\frac{2\gamma M}{R}\), vereinfacht sich die DGL aus (1) wie folgt:$$\frac12m(r')^2-\frac12m\frac{2\gamma M}{R}=\gamma\,Mm\left(\frac1r-\frac1R\right)\quad\bigg|\cdot\frac2m$$$$(r')^2-\frac{2\gamma M}{R}=\frac{2\gamma M}{r}-\frac{2\gamma M}{R}\quad\bigg|+\frac{2\gamma M}{R}$$$$(r')^2=\frac{2\gamma M}{r}\implies \sqrt r\,r'=\sqrt{2\gamma M}\quad\bigg|\text{integrieren}$$$$\int\limits_{\tau=0}^t r^{\frac12}(\tau)\,r'(\tau)\,d\tau=\int\limits_{\tau=0}^t\sqrt{2\gamma M}\,d\tau$$$$\left[\frac23 r^{3/2}\right]_{\tau=0}^t=\left[\sqrt{2\gamma M}\,\tau\right]_{\tau=0}^t$$$$\frac23\left(r^{3/2}(t)-R^{3/2}\right)=\sqrt{2\gamma M}\cdot t\quad\bigg|\colon R^{3/2}$$$$\frac23\left(\left(\frac{r}{R}\right)^{3/2}-1\right)=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R^3}}\cdot t=\sqrt{\frac{v_0^2}{R^2}}\cdot t=\frac{v_0\,t}{R}\quad\bigg|\cdot\frac32$$$$\left(\frac{r}{R}\right)^{3/2}-1=\frac{3v_0\,t}{2R}\quad\bigg|+1\quad\bigg|(\cdots)^{2/3}\quad\bigg|\cdot R$$$$r(t)=R\,\left(1+\frac{3v_0\,t}{2R}\right)^{2/3}$$

vor von 113 k 🚀

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