Lösung partielle Differentialgleichung mithilfe der Methoden der Charakteristiken

Question

Aufgabe:

Zu Finden ist die Lösung der Partiellen Differentialgleichung mithilfe der Methode der Charakteristiken:

$$\frac{\partial u}{\partial x_1} + cos(x_1) * \frac{\partial u}{\partial x_2} = -u $$

mit der Anfangsbedingung: $$ u(0,x_2) = e^{-x_2^2/2} $$
Problem/Ansatz:

Ich weiß dass die Koeffizienten $$ \frac{d}{dt} $$ einmal 1, einmal cos(x) und -u sind jedoch komme ich dann nicht weiter, also mit dem integrieren danach tue ich mir schwer.

Answer 1

Die charakteristischen Gleichungen lauten

\( (1) \quad x'(s) = 1 \)

\( (2) \quad y'(s) = cos(x(s)) \)

\( (3) \quad w'(s) = -w(s) \)

und die Anfangsbedingungen lauten

\( (4) \quad x(s=0) = 0 \)

\( (5) \quad y(s=0) = y_0 \)

\( (6) \quad w(s=0) = e^{-\frac{y_0^2}{2}} \)

Aus (1) und (4) folgt

\( (7) \quad x(s) = s\)

Aus (3) folgt

\( (8) \quad w(s) = C_1 e^{-s} \) und aus (6) folgt dann

\( (9) \quad C_1 = e^{-\frac{y_0^2}{2}} \)

und damit

\( (10) \quad w(s) =  e^{-\frac{y_0^2}{2}} e^{-s} \)

aus (2) folgt

\( y(s) = \sin(s) + C_2 \) und aus (5) folgt \( C_2 = y_0 \) also

\( (11) \quad y(s) = \sin(s) +y_0 \)

Damit aus (11) und (7) und (10)

$$ u(x,y) = w(s) = e^{-\frac{(y-\sin(x))^2}{2}}e^{-x} $$

Kontrolliere ob die Anfangsbdingungen stimmen und die PDGL erfüllt ist.

Comments

Ich verstehe jeden Schritt, bissauf den (2) wie komme ich auf die Anfangsbedingung:

$$y(s=0) = y_0 $$

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\( y_0 \) ist am Anfang noch unbekannt und wird erst im Schritt (11) zu $$ y_0 = y - sin(x) $$ bestimmt und dann in (10) eingesetzt.