Aufgabe - Dreidimensionales Integral:
Berechnen Sie das Integral ∫Ωf(x,y,z)d(x,y,z) \int \limits_{\Omega} f(x, y, z) d(x, y, z) Ω∫f(x,y,z)d(x,y,z) für f(x,y,z)=x2+y2 f(x, y, z)=x^{2}+y^{2} f(x,y,z)=x2+y2 undΩ : ={(x,y,z)∈R3∣x2+y2<1,x2+y2−1<z<1−x2−y2}\small{\Omega:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}<1, \sqrt{x^{2}+y^{2}}-1<z<\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\right\}}Ω : ={(x,y,z)∈R3∣x2+y2<1,x2+y2−1<z<1−x2−y2}
Wie weit seit Ihr mit der Integrationstheorie? Sind Zylinderkoordinaten bekannt? Oder allgemein Koordinatenwechsel / Substitutionsregel bei mehrdim. Integration?
Ich bin mir nicht sicher, ob ich das so richtig gemacht habe.
∫−11∫−1−x21−x2∫x2+y2−11−x2−y2(x2+y2)dzdydx=1.15192 \int \limits_{-1}^{1} \int \limits_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int \limits_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-1}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d z d y d x=1.15192 −1∫1−1−x2∫1−x2x2+y2−1∫1−x2−y2(x2+y2)dzdydx=1.15192
Habe ich auch erhalten.
Gruß Mathhilf
Aloha :)
Wir parametrisieren zuerst einen Ortsvektor r⃗\vec rr, der die Menge Ω\OmegaΩ abtastet. Wegen der Symmetrie des Problems wählen wir dafür Zylinerkoordinaten:r⃗=(rcosφrsinφz);dV=r dr dφ dz;r∈[0;∞) ; φ∈[0;2π] ; z∈(−∞;∞)\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\quad;\quad r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in(-\infty;\infty)r=⎝⎛rcosφrsinφz⎠⎞;dV=rdrdφdz;r∈[0;∞);φ∈[0;2π];z∈(−∞;∞)Die Bedingungen inΩ={(x;y;z)∈R3 ∣ x2+y2<1 ; x2+y2−1<z<1−x2−y2}\Omega=\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\big|\,x^2+y^2<1\,;\;\sqrt{x^2+y^2}-1<z<\sqrt{1-x^2-y^2}\}Ω={(x;y;z)∈R3∣∣∣x2+y2<1;x2+y2−1<z<1−x2−y2}können die Intervalle für rrr, φ\varphiφ oder zzz einschränken:x2+y2=(rcosφ)2+(rsinφ)2=r2(cos2φ+sin2φ)=r2<!1 ⟹ r∈[0;1)x^2+y^2=(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2=r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r^2\stackrel{!}{<}1\implies r\in[0;1)x2+y2=(rcosφ)2+(rsinφ)2=r2(cos2φ+sin2φ)=r2<!1⟹r∈[0;1)x2+y2−1<z<1−x2−y2 ⟹ r−1<z<1−r2 ⟹ z∈(r−1;1−r2)\sqrt{x^2+y^2}-1<z<\sqrt{1-x^2-y^2}\implies r-1<z<\sqrt{1-r^2}\implies z\in(r-1;\sqrt{1-r^2})x2+y2−1<z<1−x2−y2⟹r−1<z<1−r2⟹z∈(r−1;1−r2)Der Integrand wird in Zylinderkoordinaten zu:f(x;y;z)=x2+y2=r2f(x;y;z)=x^2+y^2=r^2f(x;y;z)=x2+y2=r2
Damit können wir das Integral wie folgt formulieren:I=∫r=01 ∫φ=02π∫z=r−11−r2r2⏟f(x;y;z)⋅r dr dφ dz⏟dV=∫r=01( ∫φ=02πdφ∫z=r−11−r2dz)r3 drI=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{z=r-1}^{\sqrt{1-r^2}}\underbrace{r^2}_{f(x;y;z)}\cdot\underbrace{r\,dr\,d\varphi\,dz}_{dV}=\int\limits_{r=0}^1\left(\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{z=r-1}^{\sqrt{1-r^2}}dz\right)r^3\,drI=r=0∫1φ=0∫2πz=r−1∫1−r2f(x;y;z)r2⋅dVrdrdφdz=r=0∫1⎝⎜⎜⎛φ=0∫2πdφz=r−1∫1−r2dz⎠⎟⎟⎞r3drI=∫r=012π(1−r2−(r−1))r3 dr=2π∫r=01r31−r2 dr−2π∫r=01(r4−r3) dr\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^12\pi\left(\sqrt{1-r^2}-(r-1)\right)r^3\,dr=2\pi\int\limits_{r=0}^1r^3\sqrt{1-r^2}\,dr-2\pi\int\limits_{r=0}^1(r^4-r^3)\,drI=r=0∫12π(1−r2−(r−1))r3dr=2πr=0∫1r31−r2dr−2πr=0∫1(r4−r3)drI=2π⋅215−2π(−120)=2π(860+360)=1130 π\phantom{I}=2\pi\cdot\frac{2}{15}-2\pi\left(-\frac{1}{20}\right)=2\pi\left(\frac{8}{60}+\frac{3}{60}\right)=\frac{11}{30}\,\piI=2π⋅152−2π(−201)=2π(608+603)=3011π
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