Bestimmen sie die Basis der Eigenräume

Question

a) Sei die Matrix $A=\left(a_{k, l}\right) \in \mathbb{C}^{n, n}$ gegeben durch

$a_{k, l}=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { für } k=l, \\ 1 & \text { sonst. } \end{array}\right.$
Zeigen Sie
    i. $\lambda_{1}=-1$ ist ( $\left.n-1\right)$-facher Eigenwert von $A$,
    ii. $\lambda_{2}=n-1$ ist einfacher Eigenwert von $A$,
und bestimmen Sie jeweils eine Basis der zugehörigen Eigenräume.
Hinweis: Benutzen Sie die besonders einfache Form von $A+E_{n}=A-(-1) E_{n}$, um $E_{A,-1}$ explizit zu berechnen.

Hilfe zur Bestimmung der Basis

Comments

Die Zeilensummen der Matrix $A$ sind offenbar alle gleich. Ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2=n-1$ ist daher $(1,1,\dots,1)^\top\in\mathbb C^n$.

Answer 1

Betrachten wir $\lambda_1=-1$. Der Eigenraum zu diesem Eigenweert

ist der Kern von $A-(\lambda_1)E_n=A+E_n$.

Diese Matrix besteht nur aus Einsen, alle Zeilen sind gleich,

d.h. der Rang ist $1$, die Dimension des Kerns ist also

$n-1$ und dies ist die geometrische Vielfachheit von $\lambda_1$.

Da die algebraische Vielfachheit nicht kleiner sein kann,

ist auch diese = $n-1$. Die Spur von $A$ ist =$0$. Bekanntermaßen ist das

die Summe der Eigenwerte, also $0=(-1)+\cdots+(-1)+\lambda_2$.

Folglich ist $\lambda_2=n-1$. Eine Basis der Eigenräume

zu finden sollte dir nicht schwer fallen.