0 Daumen
107 Aufrufe

Bestimmen Sie die mehrdimensionale Taylorreihe von \(g\) mit
$$ g(x, y, z) = \frac{yz^3}{1 − x^2z}$$
zum Entwicklungspunkt \((0, 0, 0)\) mit Hilfe einer bekannten eindimensionalen Reihe.


Wie finde ich die Grundtaylorreihe, mit welcher dies funktionieren würde? Habe als Ansatz \(\frac{1}{1+x}\), aber ich weiß nicht genau, wie ich vorgehen muss.

Vielen Dank im Voraus!

von

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die mystische bekannte eindimensionale Reihe ist die sog. geometrische Reihe:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{falls }|q|<1$$

Wenn du dir unseren Patienten genauer ansiehst:$$g(x;y;z)=\frac{yz^3}{1-x^2z}$$können wir \((q\coloneqq x^2z)\) setzen und weiter annehmen, dass \(|q|<1\) ist, weil wir ja eine Abschätzung nahe des Punktes \((0;0;0)\) suchen. Das heißt:$$g(x;y;z)=yz^3\cdot\frac{1}{1-\underbrace{x^2z}_{=q}}=yz^3\sum\limits_{n=0}^\infty(\underbrace{x^2z}_{=q})^n=\sum\limits_{n=0}^\infty x^{2n}\,y\,z^{n+3}\quad\text{für }|x^2z|<1$$

von 128 k 🚀
0 Daumen

Hallo

benutze die geometrische Reihe für q=x^2z und multipliziere sie mit yz^3

Gruß lul

von 93 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community