Aufgabe:
Eine kubische Funktion ist gegeben durch die folgenden Punkte. Ermitteln Sie die Funktion und berechnen Sie ihre Nullstellen mit Hilfe des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x_{0}=2.
Geben Sie die Folgeglieder, die sich aus Newton Verfahren ergeben bis zum Folgeglied x_3 an.
Nullstelle:f(0)=0
Extrem Punkte;f(2/3)=-4/27 und f(0)=0
f(1/3)=-2/27
Problem/Ansatz:
Und was ist Deine Frage dazu?
Du hast ja schon f(x) = x^3 - x^2. Also f ' (x) = 3x^2 - 2x
Newton-Verf. mit xo = 2 gibt
\( x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \frac{4}{8}=\frac{3}{2} \)
\( x_2= x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = \frac{3}{2} - \frac{f(\frac{3}{2})}{f'(\frac{3}{2})}= \frac{6}{5} \) etc.
Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle
Eigenschaften
f(0) = 0f'(0) = 0f(2/3) = -4/27f'(2/3) = 0
Gleichungssystem
d = 0c = 08/27·a + 4/9·b + 2/3·c + d = -4/274/3·a + 4/3·b + c = 0
Errechnete Funktion
f(x) = x^3 - x^2 = x^2·(x - 1)
Nun kann man eigentlich die Nullstellen bei 0 und 1 ablesen. Ok. Macht man mal das Newtonverfahren an der Stelle x0 = 2
x_neu = x - f(x)/f'(x)
x0 = 2x1 = 3/2x2 = 6/5x3 = 21/20x3 = 231/230
Ok da wird jetzt wohl als Grenzwert 1 herauskommen.
Ein anderes Problem?
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