Finden Sie eine Matrix Q ∈ O(3), so dass Q^−1AQ eine reelle Diagonalmatrix ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix
    (8   −2 2
A = −2 5 4 ∈ Mat3(R).
        ( 2 4 5)
Finden Sie eine Matrix Q ∈ O(3), so dass Q^−1AQ eine reelle Diagonalmatrix ist.

Comments

Hättet ihr vielleicht eine Idee

Answer 1

Bestimme die Eigenwerte:

Das sind 0 und 9.

Und die zugehörigen Eigenvektoren bilden

die Spalten der ges. Matrix Q.

$Q'=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ -2 & 0&1 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}$

und dann (siehe Kommentare ) Gram-Schmidt-Verfahren

auf die Spalten anwenden.

Jetzt ist es eine Matrix aus O(3)

$Q=\begin{pmatrix} \frac{-1}{3} & \frac{2\sqrt{5}}{3} & \frac{-2\sqrt{5}}{15} \\ \frac{-2}{3} & 0 & \frac{\sqrt{5}}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{4\sqrt{5}}{15}\end{pmatrix}$

Comments

Die Spalten müssen noch normiert werden !

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Q ∈ O(3)

Q ∉ O(3).

Die Spalten müssen noch normiert werden !

Das reicht nicht.

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Du hast Recht. Sie müssen sogar ein Orthonormalsystem bilden!

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Habt ihr es mal mit dem von mir angegebenen Q

probiert ? Was soll denn O(3) heißen ?

Orthogonal sind die doch.

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Die zweite und dritte Spalte sind nicht orthogonal zu einander.

O(3) ist die Gruppe der orthogonalen Matrizen, die durch

$Q^TQ=E_3$ charakterisiert sind: die sogenannte orthogonale Gruppe.

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Aha, dann muss man da noch was dran arbeiten.