Ja, es gibt eine entsprechende Matrix \(B\in \text{U}(2)\). Denn offensichtlich ist \(A\) eine selbstadjungierte Matrix, besitzt also nur reelle Eigenwerte und ist nach Spektralsatz unitär diagonalisierbar.
Zur Berechnung von \(B\) und \(D\), berechne ich zunächst die Eigenwerte und Eigenräume der Matrix \(A\).
Das charakteristische Polynom von \(A\) ist \[\begin{aligned}\chi_{A}(\lambda)&=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2+\text{i} \\ 2-\text{i} & 1 - \lambda \end{pmatrix} = {\left(1-\lambda\right)}^2 - \left(2-\text{i}\right)\cdot\left(2+\text{i}\right) \\&={\left(\lambda-1\right)}^2-5=\left(\lambda-1-\sqrt{5}\right)\cdot\left(\lambda-1+\sqrt{5}\right)\text{.}\end{aligned}\]
Die Eigenwerte von \(A\) sind demnach \(\lambda_1 = 1+\sqrt{5}\) und \(\lambda_2 = 1-\sqrt{5}\).
Eigenräume ... \[\begin{aligned}\text{Eig}(A, 1+\sqrt{5})&=\ker\begin{pmatrix}1- (1+\sqrt{5}) & 2+\text{i} \\ 2-\text{i} & 1-(1+\sqrt{5})\end{pmatrix} \\&= \ker\begin{pmatrix}-\sqrt{5} & 2+\text{i} \\ 2-\text{i} & -\sqrt{5}\end{pmatrix} \\&= \text{span}\left(\left\lbrace\begin{pmatrix}2+\text{i} \\ \sqrt{5}\end{pmatrix}\right\rbrace\right)\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\text{Eig}(A, 1-\sqrt{5})&=\ker\begin{pmatrix}1- (1-\sqrt{5}) & 2+\text{i} \\ 2-\text{i} & 1-(1-\sqrt{5})\end{pmatrix} \\&= \ker\begin{pmatrix}\sqrt{5} & 2+\text{i} \\ 2-\text{i} & \sqrt{5}\end{pmatrix} \\&= \text{span}\left(\left\lbrace\begin{pmatrix}2+\text{i} \\ -\sqrt{5}\end{pmatrix}\right\rbrace\right)\end{aligned}\]
Damit haben haben wir eine Orthogonal-Basis \[\left\lbrace\begin{pmatrix}2+\text{i} \\ \sqrt{5}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2+\text{i} \\ -\sqrt{5}\end{pmatrix}\right\rbrace\] bestehend aus Eigenwerten gefunden. Um daraus eine entsprechende Orthonormal-Basis zu bekommen, normiere ich die entsprechenden Eigenvektoren.
\[\left\lVert \begin{pmatrix}2+\text{i} \\ \sqrt{5}\end{pmatrix} \right\rVert=\sqrt{{\lvert2+\text{i}\rvert}^2+{\lvert-\sqrt{5}\rvert}^2}=\sqrt{5+5}=\sqrt{10}\]
\[\left\lVert \begin{pmatrix}2+\text{i} \\ -\sqrt{5}\end{pmatrix} \right\rVert=\sqrt{{\lvert2+\text{i}\rvert}^2+{\lvert-\sqrt{5}\rvert}^2}=\sqrt{5+5}=\sqrt{10}\]
Demnach ist \[\left\lbrace\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}2+\text{i} \\ \sqrt{5}\end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}2+\text{i} \\ -\sqrt{5}\end{pmatrix}\right\rbrace\] eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren.
Dementsprechend ist \[B = \frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}2+\text{i} & 2+\text{i} \\ \sqrt{5} & -\sqrt{5}\end{pmatrix}\] eine unitäre Matrix mit \[D = B^{-1} A B = \begin{pmatrix} -1+\sqrt{5} & 0 \\ 0 & -1 - \sqrt{5} \end{pmatrix}\text{.}\]
