Zeigen Sie, dass f keine globale Umkehrfunktion besitzt

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit

\( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\exp \left(x_{1}\right)\left(\begin{array}{c} \cos \left(x_{2}\right) \\ \sin \left(x_{2}\right) \end{array}\right) \)

b) Zeigen Sie, dass f keine globale Umkehrfunktion besitzt, indem Sie für jedes y ∈ R²
mit y ≠ (0, 0) zeigen, dass die entsprechende Urbildmenge

\( N_{f}(y)=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}: f(x)=y\right\} \)

unendlich viele Elemente enthält.
Hinweis: Benutzen Sie Polarkoordinaten für y ≠ 0.

Ansatz:

Hier stehe ich leider auf dem Schlauch wie ich überhaupt vorgehen soll.
(Hinweis: da kenne ich zwar die Formel aber sehe nicht wie ich sie hier genau anwenden kann

Comments

Ich hinterfrage den Sinn der Aufgabe nicht.

Aber du weißt doch bestimmt dass sin und cos 2π-periodisch sind.

Aus einem Urbild unendlich viele zu basteln ist also recht einfach.

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Aber wie schreibe ich das genau auf? Ich tue mich leider mit Umkehrfunktionen (und Trigonometrie) ziemlich schwer

Answer 1

Es ist \(f(x_1,x_2) = f(x_1,x_2 + 2\pi n)\) für jedes \(n\in\mathbb{Z}\) und jedes \((x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\).