Minimalpolynom der reellen Zahl

Question

Aufgabe:

estimme das Minimalpolynom der reellen Zahl a:= √2 + √5  über Q

Problem/Ansatz:

Muss man das mithilfe der Nullstelle machen ?

Answer 1

Ich würde es ganz "naiv" machen:

$a=\sqrt{2}+\sqrt{5}\Rightarrow a-\sqrt{2}=\sqrt{5}$

Quadrieren liefert

$a^2-2\sqrt{2}a+2=5$, also

$-2\sqrt{2}a=3-a^2$.

Quadrieren liefert

$8a^2=9-6a^2+a^4$.

$a$ ist also Nullstelle des Polynoms $X^4-14X^2+9$.

Eine weitere Überlegung bzgl. der sukzessiven quadratischen

Körpererweiterungen besagt, dass $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{5}):\mathbb{Q}]=4$ ist.

Damit ist $X^4-14X^2+9$ das Minimalpolynom von $a$.