Phasenportrait eines linearen, autonomen, inhomogenen Differentialgleichungs-Systems

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das lineare System

\( \vec{x'} \) = \( \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \) \( \vec{x} \) + \( \vec{b} \)

a) Zeichnen Sie das Phasenportrait, Ruhelagen, Trajektorien mit Pfeilen für \( \vec{b} \) =  \( \vec{0} \)

b) Zeichnen Sie das Phasenportrait, Ruhelagen, Trajektorien mit Pfeilen für \( \vec{b} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)

Hinweis: Dreiecksmatrix

Problem/Ansatz:

Die Berechnung der Eigenwerte, Eigenvektoren und Stabilitätsverhalten bei a) ist für mich klar. Hier bleibt \( \vec{b} \) unberücksichtigt.

Ich verstehe nicht, ob der Vektor \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) das gesamte Phasenportrait um 1 verschiebt oder eben nicht. Wie unterscheiden sich die Phasenportraits?

Im Skript finde ich nur:

Das System \( \vec{x'} \) = A \( \vec{x} \) + \( \vec{b} \) besitzt zu jedem Anfangswert \( \vec{x₀} \) genau eine globale Lösung. Jedes System kann durch die Transformation

\( \vec{y} \) = \( \vec{x} \) - \( \vec{b} \)

in ein homogenes autonomes lineares System der Form

\( \vec{y'} \) = A \( \vec{y} \)

überführt werden.

Answer 1

Hallo

zu jedem Richtungspfeil im Phasenporträt muss b addiert werden, zur Kontrolle empfehle ich https://aeb019.hosted.uark.edu/pplane.html

Gruß lul

Comments

Text erkannt:

\( \vec{x}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & -3\end{array}\right) \vec{x}+\vec{b} \)
\( \operatorname{det}(A)=4-1=3 \neq 0 \)
\( \rightarrow \) Matrix ist regulir. \( \operatorname{Nur} \operatorname{RC}(0,0) \)
(1) Eigenuerte bestimmen
\( \begin{array}{l} x(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda E)=\left(\begin{array}{cc} -1-\lambda & 1 \\ 0 & -3-\lambda \end{array}\right) \\ x(\lambda)=(-1-\lambda)(-3-\lambda)-1=-3+\lambda+3 \lambda+\lambda^{2}=\lambda^{2}+4 \lambda+3 \stackrel{\doteq}{\doteq} 0 \\ \ \lambda_{1 / 2}=-2 \pm \sqrt{4-3} \\ \ \lambda_{1}=-1 \wedge \lambda_{2}=-3 \end{array} \)
(2) Eigenvelutoren bestimmen
mit \( \lambda_{1}=1 \)
mit \( \lambda_{2}=-3 \)
a) \( \vec{b}=\overrightarrow{0} \)
b) \( \vec{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \)

So korrekt?

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Und wie kann ich die 2x2 Matrix plotten über den Link?

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Hallo

du musst schon die Matrix ausmultiplizieren und x'=x1'=.. und y'=x2'=.. verwenden, die matrix plotten kannst du nicht.

alles sieht ok aus, nur steht nirgends die explizite Lösung?

lul