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Aufgabe:

geben die Funktion: f : ℝ^2 → ℝ, f(x,y) = e^x (x+y^2 +2y)

es soll die Gleichung der Tangentialebene an die fläche z = f(x,y) im flächenpunkt ( 0, -1 , -1) angegeben werden


Problem/Ansatz:

Wie kann man das machen?

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Aloha :)

Die Tangentialebene entspricht der linearen Taylor-Entwicklung:$$z=t(x;y)=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$

Hier ist als Entwicklungspunkt \((x_0;y_0,z)=(0;-1;-1)\) gegeben. Lass dich durch die dritte \(z\)-Koordinate nicht stören, das ist der Funktionswert an der Stelle \(f(x_0;y_0)\), also das \(z=f(x_0;y_0)\).

Wir benötigen also:$$f(x;y)=e^x(x+y^2+2y)\implies f(0;-1)=-1$$$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{e^x(x+y^2+2y)+e^x}{e^x(2y+2)}=\binom{xe^x+(y+1)^2e^x}{2e^x(y+1)}\implies \operatorname{grad} f(0;-1)=\binom{0}{0}$$

Da der Gradient verschwindet, ist die Darstellung der Tangentialebene überschaubar:$$E\colon\;z=-1$$Die Tangentialebene verläuft also parallel zur \(xy\)-Ebene auf der Höhe \(z=-1\).

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Hallo

Man sieht in seinem Skript oder seiner Mitschrift an, oder wie ermanus sagt in wiki!

lul

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