Begründen Sie, dass die Iterationsfunktionfunktion Φ(x) = x - cos(x) im Intervall [- 3/2,2] kontrahierend ist.

Question

Aufgabe:

Begründen Sie, dass die Iterationsfunktionfunktion  Φ(x) = x - cos(x) im Intervall [-\( \frac{3}{2} \),2] kontrahierend ist.

(Zu nutzendes Lemma aus der Vorlesung: Es sei eine differenzierbare Funktion f: I → I auf dem Intervall I ⊂ ℝ gegeben. Die Funktion ist genau dann kontrahierend, wenn es eine reelle Zahl L ∈ [0,1( gibt, so dass für alle x ∈ I gilt |f'(x)|< L.

Ist f kontrahierend, dann ist L = sup_x∈I{|f'(x)|} eine Kontraktionskonstante von f.)

Problem/Ansatz:

Zunächst habe ich die erste Ableitung gebildet mit Φ'(x)  = 1 + sin(x). Nun habe ich versucht ein L gemäß der obigen Bedingungen zu finden hab allerdings keines im Intervall [-\( \frac{3}{2} \),2]  gefunden da ja gilt sup_{x∈[-\( \frac{3}{2} \),2]}{|Φ'(x)|} = 2.

Stehe grade etwas auf dem Schlauch. Damit Φ(x) kontrahiert muss es ja ein L ∈ [0,1( gemäß der Bedingungen geben. Oder ist Φ(x) gar nicht kontrahierend?

Habe ich einen Denkfehler? Würde mich über Hilfe sehr freuen.

Answer 1

Ist die rechte Intervallgrenze vielleicht -1/2.

Dann passt es. Und in dem Bereich liegt ja auch die Nullstelle.

Comments

Leider nicht. Es ist explizit 2 als rechte Intervallgrenze angegeben. Das ist auch dass was mich verwirrt.

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Du hast schon richtig erkannt, dass \(\max \{  1+\sin(x) : -1.5\leq x \leq 2\}=2\) bei \(x=\pi/2\). Damit kontrahiert \(\Phi\) nicht auf \([-1.5,2]\). Kannst du den Aufgabensteller konsultieren?

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Habe mit meinem Übungstutor gesprochen ist sehr wahrscheinlich ein Angabefehler es sollte um das Intervall [-3/2,-1/2] gehen.

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Auf diesem Intervall wird das Maximum bei x=-1/2 angenommen und ist 1-sin(1/2)≈0.5. Passt also.