0 Daumen
329 Aufrufe

Betrachten Sie die Funktion f(x) = e−0,5x − x.

• Wieviele Nulstellen besitzt f ?


• Überprfen Sie, ob die Bedingungen des Banachschen Fixpunktsatzes zur Berechnung der Nullstellen von f im Intervall I = [0, 1] erfullt sind.

Avatar von

4 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Du kannst die Gleichung zu einer Fixpunktgleichung der Form \(x=f(x)\) umformen:$$e^{-0,5x}-x=0\quad\implies\quad x=e^{-0,5x}\eqqcolon f(x)$$

Für \(x\in[0;1]\) gilt:$$\operatorname{max}|f'(x)|=\operatorname{max}|-0,5e^{-0,5x}|=\operatorname{max}\left(0,5e^{-0,5x}\right)=0,5<1$$Damit sind die Bedingungen des Banach'schen Fixpunktsatzes erfüllt und wir können die Nullstelle durch Interpolation ermitteln:$$x_{n+1}=f(x_n)\quad;\quad x_0=\frac{1-0}{2}=\frac{1}{2}$$

blob.png

Avatar von 148 k 🚀
0 Daumen

a)

blob.png

Eine Nullstelle. ........

Avatar von 123 k 🚀
0 Daumen

Wieviele Nulstellen besitzt f

f(x) = e^(- 0.5·x) - x = e^(- 0.5·x) + (- x)

Beide Summanden sind streng monoton fallend, daher ist auch die gesamte Funktion streng monoton fallend. Zusammen mit dem Verhalten im Unendlichen ergibt sich, dass die Funktion genau eine Nullstelle hat.

Avatar von 477 k 🚀
0 Daumen

Du Nullstelle kann man nur mit einem Näherungsverfahren ermitteln oder der Lambert-Funktion.

Avatar von 81 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community