DGL f′(x) = 2f(x) + 4 mit f(0) = 1 mittels eines Potenreihenansatzes

Question

Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung
f′(x) = 2f(x) + 4 mit f(0) = 1 mittels eines Potenreihenansatzes.

Problem/Ansatz

Habe den potenzreihen Ansatz nicht verstanden kann man mir helfen?

Answer 1

Potezreihe:y=a0+a1x+a2*x²+a3x³...;  y(0)=1 ergibt a0=1

dann y'= a1+2a2x+3a3x²+....

und mit y'=2y+4

a1+2a2x+3a3x³+....=2*a0+2a1x+2a2x³+...+4

Koeffizeintenvergleich a1=2a0+4=6. 2a2=2a1,3a3=2a2 usw

d.h du bekommst nach Bestimmung von a0 alle folgenden durch Koeffizientenvergleich und musst das nur noch für ak allgemein hinschreiben

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

f′(x) = 2f(x) + 4 mit f(0) = 1 , ich habe f(x)=y und f'(x)=y' gesetzt

ich habe nur bis x² gerechnet.

Ansatz:

y(x)= a₀ +a₁(x-x₀) +a₂(x-x₀)² + ...+

x₀=0

a₀=1

----->

y(x)= 1 +a₁(x-0) +a₂(x-0)² +...+

y(x)= 1 +a₁*x +a₂*x²+..+

y'(x)= a1 +2 a₂ x+..+

->in die DGL einsetzen:

y′(x) = 2y + 4

a1 +2 a2 x =2(1 +a1*x +a2*x²) +4

a1 +2 a2 x=2 +2 a1*x +2 a2*x² +4

a1 +2 a2 x -2 -2 a1*x -2 a2*x² -4=0

Koeffizientenvergleich:

x²: 3 a3 -2a2=0 --->a2=0

x¹: 2a2 -2a1=0 -->a1=0

x⁰: a1 -6=0 ->a1=6

-->y(x)= 1 +a1*x +a2*x² +...+

y(x)= 1 +6 x +0 *x² +...+

y(x)= 1 +6 x +...+