0 Daumen
204 Aufrufe

Aufgabe: Integral bestimmen


Problem/Ansatz:Wie kommt man hier auf die Stammfunktion ?Screenshot 2022-07-11 215507.png

Text erkannt:

\( =\pi+\frac{1}{4} \cdot \int \limits_{0}^{2 \cdot \pi} 2 \cdot \sin (\varphi) \cdot \cos (\varphi) \mathrm{d} \varphi \)
\( =\pi+\frac{1}{4}\left[-\cos ^{2}(\varphi)\right]_{\varphi=0}^{2 \cdot \pi}=\pi+0 \)
\( =\pi \)

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen
Wie kommt man hier auf die Stammfunktion ?


Mit partieller Integration oder mit der Kenntnis, dass

\(2 \cdot \sin (\varphi) \cdot \cos (\varphi) = \sin (2\varphi) \) gilt und man also \(sin (2\varphi) \) integrieren muss.

Avatar von 53 k 🚀

Die Stammfunktion von sin(2φ) ist -1/2 ·cos(2φ) oder nicht ?

Davon kannst du dich durch ableiten von -1/2 ·cos(2φ) schnell überzeugen.

0 Daumen

Hallo,

Substitiere

z= cos(φ)

dz/dφ = -sin(φ)

dφ =dz/ -sin(φ)

eingesetzt und zusammen gefasst in den Integranden:

=2 sin(φ) * cos(φ) *dφ

=2 sin(φ) * cos(φ) dz/ -sin(φ)

= -2 z dz = -z^2 +C ->Resubstitution z=  cos(φ)

= - cos^2(φ) +C

Avatar von 121 k 🚀
0 Daumen

Ich hätte die Stammfunktion anders ermittelt.

Umkehrung der Kettenregel. Erkenne also das cos(φ) die Ableitung von sin(φ) ist.

2*sin(φ) ist die äußere Ableitung von sin²(φ).

Also gilt laut Kettenregel

[sin²(φ)]' = 2*sin(φ) * cos(φ)

Avatar von 477 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

4 Antworten
2 Antworten
2 Antworten
Gefragt 7 Mai 2015 von Gast

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community