Integral mit Polarkoordinaten berechnen

Question

Aufgabe: Hier soll das Integral mit Hilfe von Polarkoordinaten berechnet werden.

…

Problem/Ansatz: Bräuchte hier eine Erklärung/Zwischenschritt,wie man von der rot markierten Zeile auf die nächste Zeile kommt.Vielen Dank im Voraus.

Text erkannt:

Für den Flächeninhalt \( |M| \) der Menge \( M \) ergibt sich damit
\( |M|=\int \limits_{0}^{2 \cdot \pi}\left(\int \limits_{0}^{+\sqrt{1+\sin (\varphi) \cdot \cos (\varphi)}} r \mathrm{~d} r\right) \mathrm{d} \varphi \)
\( =\pi+\frac{1}{4}\left[-\cos ^{2}(\varphi)\right]_{\varphi=0}^{2 \cdot \pi}=\pi+0 \)
\( =\pi \).

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom=\frac12\cdot\int\limits_0^{2\pi}(1+\sin\varphi\cos\varphi)\,d\varphi=\frac12\int\limits_0^{2\pi}1\,d\varphi+\frac12\int\limits_{0}^{2\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi$$$$=\frac12\left[\varphi\right]_0^{2\pi}+\frac14\int\limits_{0}^{2\pi}2\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi=\frac12\left(2\pi-0\right)+\frac14\left[-\cos^2\varphi\right]_0^{2\pi}$$$$=\pi+\frac14\left(-1-(-1)\right)=\pi$$