Zeigen Sie, dass B A diagonalisierbar ist.

Question 1

Seien $ A, B \in \mathbb{K}^{n, n} $. Es gelte $ A B $ ist diagonalisierbar und $ B $ sei invertierbar. Zeigen Sie, dass $ B A $ diagonalisierbar ist.

Question 2

Wenn $AB$ diagonalisierbar ist, dann existieren eine nichtsinguläre Matrix $S$, sowie eine Diagonalmatrix $D$ mit $S^{-1}(AB)S=D$ oder anders ausgedrückt$$AB=SDS^{-1}.$$Multipliziere von links mit $B$ und von rechts mit $B^{-1}$, das nach Voraussetzung existiert, und erhalte$$BA\underbrace{BB^{-1}}_{E_n}=BSDS^{-1}B^{-1}.$$Daraus folgt$$BA=(BS)D(BS)^{-1}$$und daraus die Behauptung.

Question 3

Vielen Dank!!

Question 4

Warum gilt S^(-1)*B^(-1)=(B*S)^-1?

Arsinoé4 · Answer 1 · 2022-07-15T12:59:07+0000

Wenn $AB$ diagonalisierbar ist, dann existieren eine nichtsinguläre Matrix $S$, sowie eine Diagonalmatrix $D$ mit $S^{-1}(AB)S=D$ oder anders ausgedrückt$$AB=SDS^{-1}.$$Multipliziere von links mit $B$ und von rechts mit $B^{-1}$, das nach Voraussetzung existiert, und erhalte$$BA\underbrace{BB^{-1}}_{E_n}=BSDS^{-1}B^{-1}.$$Daraus folgt$$BA=(BS)D(BS)^{-1}$$und daraus die Behauptung.

Zeigen Sie, dass B A diagonalisierbar ist.

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