Matrix diagonalisierbar? Diagonalmatrix?

Question

kann mir jemand erklären, wie ich da vorgehe?

Muss ich das charakteristische Polynom bestimmen?

Vielen Dank :)

Comments

Ich habe zu a) folgendes:

Ich habe das charakteristische Polynom bestimmt und anschließend die Nullstellen von diesem.

Als Nullstellen erhalte ich λ₁ = 2 und λ₂ =-2.

Mit dem Satz

Besitzt das charakteristische Polynom einer n×n-Matrix weniger als n Nullstellen, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar

folgt dann doch, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist und ich bin fertig, nicht wahr?

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Bei b) bekomme ich als Nullstelle des charakteritischen Polynoms λ=3 raus, also lässt sich A auch hier nicht diagonlaisieren.

Das ganze erscheint mir ein wenig komisch. Niemand der mal kurz drüber schauen könnte?

Bei a) habe ich als Nullstellen 2,2 und -2 die ich doch zu 2 und -2 zusammenfassen kann?

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Du musst schon auch die Vielfachheiten der Nullstellen betrachten.

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Auch bei Aufgabe b)?

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Und bei b bekommst du eine Basis des Eigenraums mit zwei Eigenvektoren, für eine
Basis von Eigenvektoren für IR^3 brauchst du aber 3. Also nicht diagonalisierbar.

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Reicht es nicht wenn ich bei b) mit den Nullstellen argumentiere?

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Ich denke du musst mit der geometrischen Vielfachheit argumentieren.

siehe auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem#Beispiel_2

Answer 1

a)Muss ich das charakteristische Polynom bestimmen?

und davon die Nullstellen:

mit det( A - x*E) = 0 bekommst du die Eigenwerte

2 und -2 .

Eigenvektoren mit

(A - 2*E) * x = 0-Vekor

gibt nach Umformen

0 -1   1
0  0   0
0  0    0  also

x = ( t ;  s ; s  ) = t(1;0,0) + s*( 0 ; 1 ; 1 ) also

(1;0,0) ,( 0 ; 1 ; 1 )  eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert 2

und mit

(A + 2*E) * x = 0-Vekor

gibt nach Umformen

0 -1   1
0  0   0
0  0    0

4  0   0 
0  3    1
0   0   0  

also x = ( 0 ;  s ; -3s  )=   s* ( (0;1,-3  )
und die Spalten der Matrix P bestehen aus den drei Basisvektoren,
also
1    0     0
0    1    1
0    1   -3
und damit P^-1 * A * P die Diagonalmatrix.