Eigenwert, Matrizen, charakteristische Polynom, Eigenräume, diagonalisierbar

Question

Wir betrachten die Matrizen

$M=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad S=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 5 & 7 \\ 5 & 1 & 4 \\ 7 & 4 & 22 \end{array}\right) \text {. }$
(a) Geben Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $M$ an. Wie ist die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte?
(b) Bestimmen Sie zu allen Eigenwerten von $M$ die zugehörigen Eigenräume. Geben Sie die Dimension der Eigenräume an.
(c) Ist die Matrix $M$ diagonalisierbar? Begründen Sie Ihre Antwort!
(d) Die Matrix $S$ ist diagonalisierbar. Wieso? Es sei $D=B \cdot S \cdot B^{-1}$ die Diagonalmatrix zu $S$. Was ist der Zusammenhang zwischen der Determinanten von $S$ und der Determinaten von $D$ und wieso?

Problem/Ansatz:

Hey ich verstehe diese Aufgaben nicht und würde mich freuen, wenn mir hier jemand da weiter helfen kann.

Answer 1

a) Berechne die Nullstellen von det ( M-x*E), das sind die Eigenwerte.

Das gibt (x-2)² * (x+1)=0

Also zwei Eigenwerte 2  (alg. Vielfachheit 2 wegen des ² )   und -1.

Comments

Hey, danke für deine Antwort :)

könntest du mir eventuell erklären was du bei dem (M-x*E) gemacht hast, sodass du auf (x-2)2 * (x+1)=0 gekommen bist.

Danke schonmal :)

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det ( M-x*E)

= det ( $\left(\begin{array}{ccc} -1-x & 1 & 1 \\ 0 & 2-x & 0 \\ 0 & 0 & 2-x \end{array}\right)$

unterhalb der Diag. ist alles Null, also

det = Produkt der Diagonalelemente

=(-1-x)(2-x)(2-x).

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Okay vielen lieben dank <33