Zeigen Sie, dass die Relation aus b) linkstotal ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Relation aus b) linkstotal ist.

Die Aufgabe b) lautet:

a ∼ b :⇔ 3 | a − 4b  Sie ist eine Äquivalenzrelation (Bewiesen) auf Z

Problem/Ansatz:

Linkstotal bedeutet: für jedes x ∈ M ein y ∈ M existiert, so dass x ∼ y

Auf deutsch: Jedes Element a aus der Menge A hat mind. einen Partner b aus der Zielmenge B

heißt: es muss mind. einen Partner haben kann auch mehrere haben!

So mein Problem: Wie genau zeigen Mathematiker, dass eine Relation linkstotal ist?

Reicht bei so einem Problem, dass reine einsetzen von Zahlen aus der Menge Z ?

Answer 1

Alle Elemente von Z kannste ja nicht einsetzen. Also brauchst du ein Argument, warum es zu jedem a so ein b gibt.

Am besten machst du das, indem du danach unterscheidest welchen Rest a bei Division durch 3 hat.

Comments

Also:

Division durch 3 gibt es drei Möglichkeiten:

Äquivalenzklassen [1] = {-5 , -2 , 1 , 4 , 7 , 10 , 13}

Äquivalenzklassen [2] = {-4 , -1 , 2 , 5 , 8 , 11 , 14}

Äquivalenzklassen [0] = {-6 , -3 , 0 , 3 , 6 , 9 , 12}

Wir haben drei Klassen, je für eine Restklasse.

Die Reste 1 u. 2 sind dann Elemente die keinen Partner haben in der Zielmenge

Rest 0: eindeutig ist 3 ein Teiler dieser Klasse.

Wäre es soweit ein logischer "Beweis" ?

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Wenn a den Rest 1 hat (z.B. a=4)  , dann wähle für b auch ein Element

mit Rest 1 (z.B. b=7) Dann ist a − 4b = 4 - 4*7 = -24 also durch 3

teilbar, damit gilt 4 ~ 7. 4 hat also einen Partner.

Allgemein wohl so:

Wenn a den Rest 1 hat , wähle dann b=a und man hat

 a - 4b = a-4a = -3a und das ist durch 3 teilbar, also gibt es

zu jedem a mit Rest 1 einen Partner.

Für Rest 2 so ähnlich.

Answer 2

Eine reflexive Relation ist automatisch linkstotal.

Comments

Wäre damit es gelöst?

weil in der Aufgabe "zeigen sie" steht.

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Damit ist es gezeigt; denn dass \(\sim\) eine
Äquivalenzrelation ist, wurde ja, wie du sagst, bereits bewiesen.

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Alles klar merke ich mir danke dir!