Orthonormalbasis berechnen mit stammfunktion

Question

Aufgabe:

Es sei $\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})$ der $\mathbb{R}$-Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit reellen Koeffizienten. Wir definieren auf $\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})$ ein Skalarprodukt durch
$\langle f, g\rangle:=\int \limits_{-1}^{1} f(x) g(x) d x .$
Sie müssen nicht zeigen, dass 〈, ) ein Skalarprodukt ist. Benutzen Sie das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren, um die Basis
$e_{0}=1, \quad e_{1}=x, \quad e_{2}=x^{2}$
in eine Orthonormalbasis $b_{0}, b_{1}, b_{2}$ von $\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})$ umzuformen.
Erinnerung: Die Stammfunktion von $x^{n}$ ist $\frac{1}{n+1} x^{n+1}$.

Problem/Ansatz:

Ich weiß wie das Gram schmidt Verfahren funktioniert, nur bin ich bisschen verwirrt wie ich das mit der Stammfunktion machen soll ?

$\begin{aligned} u_{1}=e_{0}=1 \Rightarrow q_{1} &=\frac{1}{\left\|u_{1}\right\|} u_{1}, \text { Wix wionen, das }\|\cdot\|=\sqrt{\left.L_{\cdot 1} \cdot\right\rangle} \\ &=\frac{1}{\sqrt{\langle 1,1\rangle}} u_{1}=\frac{1}{\sqrt{\int \limits_{-1}^{1} 1 \cdot 1} d_{x}} \cdot u_{1}=\frac{1}{\sqrt{[x]_{-1}^{1}}} u_{1} \\ &=\frac{1}{\sqrt{1-1-1 \mid}} u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}} u_{1} \\ \text { somit iol } v_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$

Bin ich auf dem richtigen Weg ?

Answer 1

Du bist auf dem richtigen Weg.

Der Hinweis auf die Stammfunktion ist nur ein technischer Hinweis.