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Aufgabe:


Sei \( \alpha: \mathbb{Q}^{3} \rightarrow \mathbb{Q}^{3} \) der lineare Endomorphismus des Standaradvektorraums \( \mathbb{Q}^{3} \) mit Koordinatenmatrix
\( A=[\alpha]_{\mathfrak{E}}=\left(\begin{array}{ccc} -5 & 2 & 10 \\ -1 & 0 & 1 \\ -5 & 1 & 10 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{Q}) \)
bzgl. der Basis \( \mathfrak{E}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \), bestehend aus \( e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1) \).
(a) Verifizieren Sie mittels geeigneter Zeilenumformungen, dass \( A \) (und damit \( \alpha \) ) den vollen Rang 3 hat, und berechnen Sie \( A^{-1}=\left[\alpha^{-1}\right]_{\mathfrak{E}} \).
(b) Bestimmen Sie den Untervektorraum
\( U=\left\{v \in \mathbb{Q}^{3} \mid v \alpha=5 v\right\}, \)
indem Sie eine Basis für \( U \) berechnen.

Hallo, kann mir jemand bei der (b) helfen? Ich versteh leider nicht so ganz, wie ich hier eine Basis berechnen soll. Vor allem verstehe ich auch die Bedingung von U nicht. va = 5v ?

Danke für jede Hilfe!

von

3 Antworten

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Beste Antwort

Wenn ich eure Schreibweise richtig interpretiere,

bedeutet \(v\alpha=\alpha(v)\). Somit ist unter der Annahme, dass \(5\)

ein Eigenwert von \(\alpha\) ist, \(U\) der zugehörige Eigenraum:

\(U=\ker(A-5E_3)\). Meine Berechnung liefert:

\(U=span((1,0,1)^T)\).

von 18 k

Super, danke dir für die Hilfe. Habe es mittels Gauß verfahren gelöst und komme auch auf die Lösungen. Habe bloß die Schreibweise nicht so ganz verstanden

Hallo Ermanus, ist Dir die Schreibweise va statt a(v) geläufig? Wird die in irgendeinem Spezialgebiet bevorzugt?

Hallo Mathhilf,

ja, es gibt diese Schreibweise in Texten oder Büchern

zur homologischen Algebra.

Dort ist es hin und wieder üblich, bei einem

Links-Modul eine lineare Abbildung rechts zu notieren

und bei einem Rechts-Modul auf der linken Seite.

Der Vorteil solch einer Konvention ist es,

dass die Multiplikationsregel für Skalare die Gestalt

eines Assoziativgesetzes bekommt.

Normal "\(\alpha(c\cdot v)=c\cdot \alpha(v)\)" wird zu

"\((cv)\alpha=c(v\alpha)\)".

Diese Art der Schreibweise zeigt im Zusammenhang mit

Moduln über Ringen u.a., dass der Dualmodul eines

Links-Moduls ein Rechts-Modul ist.

Danke für die Info

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Hey,


Also die Bedingung soll vermutlich $$vA=5v$$ heißen. Ich weiß ja jetzt nicht wie das bei euch sein soll. Das sind dann halt die Vektoren, die von A auf 5 mal sich selbst abgebildet werden, oder anders $$vA-5v=v(A-5I)=0$$ wobei I die Einheitsmatrix ist und 0. Da A vollen Rang hat, hat U Dimension 1, also musst du quasi nur einen Vektor (außer 0) finden und der Spann davon ist dann U.


LG

von
Da A vollen Rang hat, hat U Dimension 1

Warum das denn?

Außerdem heißt es wohl \(Av\) und nicht \(vA\).

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Ich denke Du sollst eine Basis vom Eigenraum zum Eigenwert \( \lambda = 5 \) finden. Die Basis besteht dann aus dem Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda = 5 \)

von 37 k

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