Zylinderkoordinaten als Linearkombination der kartesischen Basisvektoren

Question

Aufgabe:

Zylinderkoordinaten
Problem/Ansatz:

Ich lerne gerade verschiedene Übungen für eine Prüfung, aber es gibt eine bei der ich keinen Ansatz und Lösungsweg finde. Ich möchte gerne solche Aufgaben beherrschen können und wäre sehr dankbar wenn mir jemand auch nur bei einem der 3 Fragen helfen könnte.

Sie lautet:

An jedem Punkt in drei Dimensionen, der durch den Ortsvektor \( \vec{r}(\rho, \phi, z) \) spezifiziert wird, können in Zylinderkoordinaten die drei Einheitsvektoren

\( \overrightarrow{e_{\rho}}=\frac{\frac{\partial \vec{r}(\rho, \phi, z)}{\partial \rho}}{\left|\frac{\partial \vec{r}(\rho, \phi, z)}{\partial \rho}\right|}, \quad \overrightarrow{e_{\phi}}=\frac{\frac{\partial \vec{r}(\rho, \phi, z)}{\partial \phi}}{\left|\frac{\partial \vec{r}(\rho, \phi, z)}{\partial \phi}\right|}, \quad \overrightarrow{e_{z}}=\frac{\frac{\partial \vec{r}(\rho, \phi, z)}{\partial z}}{\left|\frac{\partial \vec{r}(\rho, \phi, z)}{\partial z}\right|} \)definiert werden. Diese drei Vektoren sind ortsabhängig und werden als Basisvektoren benutzt, um Vektoren in Zylinderkoordinaten auszudrücken.

a) Bestimmen Sie diese Basisvektoren als Linearkombination der ortsunabhängigen kartesischen Basisvektoren \( \overrightarrow{e_{x}}, \overrightarrow{e_{y}} \) und \( \overrightarrow{e_{z}} \).

b) Überprüfen Sie, ob diese Basisvektoren ein Orthogonalsystem bilden.

c) Drücken Sie das Vektorfeld \( \vec{B}(\vec{r})=\vec{B}(x, y, z)=\vec{B}(\rho, \phi, z)=-y \overrightarrow{e_{x}}+x \overrightarrow{e_{y}} \) in Zylinderkoordinaten aus

Mfg Rick

Comments

Weißt Du, wie Zylinderkoordinaten definiert sind? Also wie r definiert ist? Dann könntest Du doch schonmsl die benötigten partiellen Ableitungen ausrechnen.

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Entschuldigen Sie für die späte Rückmeldung!

Ich habe gelernt wie das r in den Kugelkoordinaten definiert ist (Wurzel aus der Summe von x ² y² und z² ) und das ρ in den Zylinderkoordinaten (Wurzel aus Summe von x² und y² ), deshalb verstehe ich nicht wie ich in den Zylinderkoordinaten nun r definieren soll.

Es tut mir leid, dass ich mich nur so wage ausdrücken kann, aber ich bin ziemlich verwirrt von meiner Aufgabenstellung.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Darstellung in Zylinderkoordinaten lautet:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\rho\cos\varphi\\\rho\sin\varphi\\z\end{pmatrix}$$

Damit lauten die gesuchten Einheitsvektoren:$$\vec e_\rho=\frac{\frac{\partial r}{\partial\rho}}{\left\|\frac{\partial r}{\partial\rho}\right\|}=\frac{\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\right\|}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}=\cos\varphi\cdot\vec e_x+\sin\varphi\cdot\vec e_y$$$$\vec e_\varphi=\frac{\frac{\partial r}{\partial\varphi}}{\left\|\frac{\partial r}{\partial\varphi}\right\|}=\frac{\begin{pmatrix}-\rho\sin\varphi\\\rho\cos\varphi\\0\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-\rho\sin\varphi\\\rho\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\right\|}=\frac{1}{\rho}\begin{pmatrix}-\rho\sin\varphi\\\rho\cos\varphi\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}=-\sin\varphi\cdot\vec e_x+\cos\varphi\cdot\vec e_y$$$$\vec e_z=\frac{\frac{\partial r}{\partial z}}{\left\|\frac{\partial r}{\partial z}\right\|}=\frac{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right\|}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\vec e_z$$

zu b) Nachrechnen liefert:$$\vec e_\rho\cdot\vec e_\varphi=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}=-\sin\varphi\cos\varphi+\sin\varphi\cos\varphi=0\quad\checkmark$$$$\vec e_\rho\cdot\vec e_z=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=0\quad\checkmark$$$$\vec e_\varphi\cdot\vec e_z=\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=0\quad\checkmark$$Die Basisvektoren bilden ein Orhtogonalsystem.

zu c) Das Vektorfeld \(\vec B\) können wir in Zylinderkoordinaten ausdrücken:$$\vec B=-y\,\vec e_x+x\,\vec e_y=\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\rho\sin\varphi\\\rho\cos\varphi\\0\end{pmatrix}=\rho\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}=\rho\,\vec e_\varphi$$

Comments

Danke vielmals :))!! Ich würde ihre Antwort als "beste Antwort" gerne markieren, aber es lasst mich nicht :(