Aufgabe:
Gibt es für \( x^{3}+ y^{3}=1 \) rationale Lösungen?
Problem/Ansatz:
Zunächst nehme ich an, dass es rationale Lösungen gibt.
Wenn x und y rational sind, dann ist der Quotient ebenfalls rational.
Also nehme ich beliebige natürliche Zahlen p,q (p und q sind teilerfremd) und schreibe folgende Gleichung:
\( \frac{p}{q}= \frac{y}{x} = \frac{\sqrt[3]{1-x^{3}}}{x} \phantom{10}x,y \in \mathbb{Q} \phantom{5} p,q \in \mathbb{N} \)
Durch Potenzieren erhält man
\( \frac{p^{3}}{q^{3}}= \frac{1-x^{3}}{x^{3}} = \frac{1}{x^{3}}-1 \)
und nach Umstellen der Gleichung
\( 1=\frac{1}{x^{3}}-\frac{p^{3}}{q^{3}} \)
Das lässt sich dann wie folgt faktorisieren
\( 1= (\frac{1}{x}-\frac{p}{q})\cdot{(\frac{1}{x^{2}}+ \frac{1}{x}\frac{p}{q}+ \frac{p^{2}}{q^{2}} )} \)
Um die Gleichung zu erfüllen, müssen beide Faktoren =1 sein.
\( (\frac{1}{x}-\frac{p}{q})=1 \phantom{10}\rightarrow \phantom{10}\frac{p}{q}=\frac{1}{x}-1 \)
\( (\frac{1}{x^{2}}+ \frac{1}{x}\frac{p}{q}+ \frac{p^{2}}{q^{2}} )=1 \phantom{10}\rightarrow \phantom{10} (\frac{1}{x^{2}}+ \frac{1}{x}(\frac{1}{x}-1 )+ (\frac{1}{x}-1 )^{2} )=1 \)
Nach Auflösen der Gleichung ergibt sich:
\( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}-2\frac{1}{x}+1=1 \)
\( \frac{3}{x^{2}}=\frac{3}{x} \)
und somit als Ergebnis
\( x=1 \phantom{10}\rightarrow \phantom{10} \frac{p}{q}=\frac{1}{x}-1 \phantom{10}\rightarrow \phantom{10} \frac{p}{q}=0 \)
Was bedeutet das nun für die Fragestellung?
Sind x=1 und \( \frac{p}{q}=0 \) , also x=1 und y=0 , die einzigen (trivialen) Lösungen, also hat die Gleichung somit keine weiteren rationalen Lösungen?
