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Aufgabe:

Gibt es für \( x^{3}+ y^{3}=1 \) rationale Lösungen?


Problem/Ansatz:

Zunächst nehme ich an, dass es rationale Lösungen gibt.

Wenn x und y rational sind, dann ist der Quotient ebenfalls rational.

Also nehme ich beliebige natürliche Zahlen p,q (p und q sind teilerfremd) und schreibe folgende Gleichung:

\( \frac{p}{q}= \frac{y}{x} = \frac{\sqrt[3]{1-x^{3}}}{x}  \phantom{10}x,y \in \mathbb{Q} \phantom{5} p,q \in \mathbb{N} \)

Durch Potenzieren erhält man

\( \frac{p^{3}}{q^{3}}= \frac{1-x^{3}}{x^{3}} = \frac{1}{x^{3}}-1 \)

und nach Umstellen der Gleichung

\( 1=\frac{1}{x^{3}}-\frac{p^{3}}{q^{3}} \)

Das lässt sich dann wie folgt faktorisieren

\( 1= (\frac{1}{x}-\frac{p}{q})\cdot{(\frac{1}{x^{2}}+ \frac{1}{x}\frac{p}{q}+ \frac{p^{2}}{q^{2}} )} \)

Um die Gleichung zu erfüllen, müssen beide Faktoren =1 sein.

\( (\frac{1}{x}-\frac{p}{q})=1 \phantom{10}\rightarrow \phantom{10}\frac{p}{q}=\frac{1}{x}-1 \)

\( (\frac{1}{x^{2}}+ \frac{1}{x}\frac{p}{q}+ \frac{p^{2}}{q^{2}} )=1 \phantom{10}\rightarrow \phantom{10} (\frac{1}{x^{2}}+ \frac{1}{x}(\frac{1}{x}-1 )+ (\frac{1}{x}-1 )^{2} )=1 \)

Nach Auflösen der Gleichung ergibt sich:

\( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}-2\frac{1}{x}+1=1 \)

\( \frac{3}{x^{2}}=\frac{3}{x} \)

und somit als Ergebnis

\( x=1 \phantom{10}\rightarrow \phantom{10}  \frac{p}{q}=\frac{1}{x}-1 \phantom{10}\rightarrow \phantom{10} \frac{p}{q}=0 \)

Was bedeutet das nun für die Fragestellung?

Sind x=1 und \( \frac{p}{q}=0 \) , also x=1 und y=0 , die einzigen (trivialen) Lösungen, also hat die Gleichung somit keine weiteren rationalen Lösungen?

von
Um die Gleichung zu erfüllen, müssen beide Faktoren =1 sein.

Muss das wirklich so sein.

Ein Bruch mal seinem Kehrbruch ist z.B. auch immer 1 oder?

Ja, natürlich !!

Ich rechne hier ja mit rationalen Zahlen. Manchmal ist man wirklich blind...

1 Antwort

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Gäbe es eine rationale Lösung \(x,y\neq 0\),

dann könnte man diese Gleichung mit der dritten Potenz des

Hauptnenners von \(x\) und \(y\)

multiplizieren und bekäme so eine ganzzahlige Gleichung

\(X^3+Y^3=Z^3\). Nun denke man an Fermat.

von 18 k

Ja, genau.

Und eigentlich wollte ich ja auch als Ergebnis bekommen, dass es keine rationalen Lösungen (außer der trivialen) gibt.

Aber der Weg ist schwierig.

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