Gibt es für x3+ y3=1 rationale Lösungen?

Question

Aufgabe:

Gibt es für $x^{3}+ y^{3}=1$ rationale Lösungen?

Problem/Ansatz:

Zunächst nehme ich an, dass es rationale Lösungen gibt.

Wenn x und y rational sind, dann ist der Quotient ebenfalls rational.

Also nehme ich beliebige natürliche Zahlen p,q (p und q sind teilerfremd) und schreibe folgende Gleichung:

$\frac{p}{q}= \frac{y}{x} = \frac{\sqrt[3]{1-x^{3}}}{x} \phantom{10}x,y \in \mathbb{Q} \phantom{5} p,q \in \mathbb{N}$

Durch Potenzieren erhält man

$\frac{p^{3}}{q^{3}}= \frac{1-x^{3}}{x^{3}} = \frac{1}{x^{3}}-1$

und nach Umstellen der Gleichung

$1=\frac{1}{x^{3}}-\frac{p^{3}}{q^{3}}$

Das lässt sich dann wie folgt faktorisieren

$1= (\frac{1}{x}-\frac{p}{q})\cdot{(\frac{1}{x^{2}}+ \frac{1}{x}\frac{p}{q}+ \frac{p^{2}}{q^{2}} )}$

Um die Gleichung zu erfüllen, müssen beide Faktoren =1 sein.

$(\frac{1}{x}-\frac{p}{q})=1 \phantom{10}\rightarrow \phantom{10}\frac{p}{q}=\frac{1}{x}-1$

$(\frac{1}{x^{2}}+ \frac{1}{x}\frac{p}{q}+ \frac{p^{2}}{q^{2}} )=1 \phantom{10}\rightarrow \phantom{10} (\frac{1}{x^{2}}+ \frac{1}{x}(\frac{1}{x}-1 )+ (\frac{1}{x}-1 )^{2} )=1$

Nach Auflösen der Gleichung ergibt sich:

$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}-2\frac{1}{x}+1=1$

$\frac{3}{x^{2}}=\frac{3}{x}$

und somit als Ergebnis

$x=1 \phantom{10}\rightarrow \phantom{10} \frac{p}{q}=\frac{1}{x}-1 \phantom{10}\rightarrow \phantom{10} \frac{p}{q}=0$

Was bedeutet das nun für die Fragestellung?

Sind x=1 und $\frac{p}{q}=0$ , also x=1 und y=0 , die einzigen (trivialen) Lösungen, also hat die Gleichung somit keine weiteren rationalen Lösungen?

Comments

Um die Gleichung zu erfüllen, müssen beide Faktoren =1 sein.

Muss das wirklich so sein.

Ein Bruch mal seinem Kehrbruch ist z.B. auch immer 1 oder?

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Ja, natürlich !!

Ich rechne hier ja mit rationalen Zahlen. Manchmal ist man wirklich blind...

Answer 1

Gäbe es eine rationale Lösung $x,y\neq 0$,

dann könnte man diese Gleichung mit der dritten Potenz des

Hauptnenners von $x$ und $y$

multiplizieren und bekäme so eine ganzzahlige Gleichung

$X^3+Y^3=Z^3$. Nun denke man an Fermat.

Comments

Ja, genau.

Und eigentlich wollte ich ja auch als Ergebnis bekommen, dass es keine rationalen Lösungen (außer der trivialen) gibt.

Aber der Weg ist schwierig.