Wie zeige ich unter Verwendung des Potenzials, dass es sich um ein konservatives Feld handelt?

Question

Aufgabe:

Überprüfe explizit unter Verwendung des Potenzials, ob das Kurvenintegral über das konservative Vektorfeld F(x,y,z) wegunabhängig ist

Problem/Ansatz:

Ich hab mit über das gegebene Vektorfeld das Potenzial berechnet und gezeigt, dass es sich um ein konservatives Feld handelt (∇xF=0). Aber wie zeige ich unter Verwendung des Potenzials, dass es sich um ein konservatives Feld handelt?

Ist es ausreichend das Potenzial nach x, y und z abzuleiten und wenn mich das auf die Komponenten das gegebene Vektorfeld bringt, ist es Wegunabhängig?

Answer 1

Aloha :)

Hier ist nicht der Zusammenhang zwischen der Wegunabhängigkeit und der Rotation, sondern der Zusammenhang zwischen der Wegunabhängigkeit und dem Potential gesucht.

Wenn ein Vektorfeld $\vec F$ ein Potential $\phi$ besitzt, gilt:$$\vec F(x;y;z)=\operatorname{grad}\phi(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial\phi}{\partial x}\\[1ex]\frac{\partial\phi}{\partial y}\\[1ex]\frac{\partial\phi}{\partial z}\end{pmatrix}$$

In diesem Fall kannst du das Integral über $\vec F$ entlang eines Weges $\vec r$ von einem Startpunkt $(x_1;y_1;z_1)$ zu einem Endpunkt $(x_2;y_2;z_2)$ wie folgt berechnen:

$$E=\int\limits_{(x_1;y_1;z_1)}^{(x_2;y_2;z_2)}\vec F\,d\vec r=\int\limits_{(x_1;y_1;z_1)}^{(x_2;y_2;z_2)}\begin{pmatrix}F_x\\F_y\\F_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}=\int\limits_{(x_1;y_1;z_1)}^{(x_2;y_2;z_2)}\left(F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz\right)$$

Jetzt nutzen wir die Existenz des Potentials aus, dass also $\vec F=\operatorname{grad}\phi$ ist:$$\phantom E=\int\limits_{(x_1;y_1;z_1)}^{(x_2;y_2;z_2)}\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\,dx+\frac{\partial\phi}{\partial y}\,dy+\frac{\partial\phi}{\partial z}\,dz\right)$$

In der Klammer steht nun das totale Differential $d\phi$ von $\phi$, mit $\phi$ als Stammfunktion. Wir erhalten als Integral also einfach die Funktion $\phi$ und müssen nur noch die obere und die untere Grenze einsetzen. Der Weg spielt keine Rolle mehr.$$\phantom E=\int\limits_{(x_1;y_1;z_1)}^{(x_2;y_2;z_2)}d\phi=\phi(x_2;y_2;z_2)-\phi(x_1;y_1;z_1)$$

In einfachen Worten: Wegen $\left(\vec F=\operatorname{grad}\phi\right)$ gilt auch $\left(d\phi=\vec F\,d\vec r\right)$.

Comments

Mahalo Tschakabumba

Answer 2

Das Vektorfeld ist konservativ wenn gilt $$\text{rot} \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = 0$$

Wenn $\vec{F}$ aber ein Gradientenfeld ist, wenn also $\vec{F} = \nabla \Phi$ gilt, folgt

$$\text{rot} \vec{F} = \nabla \times \nabla \Phi = 0$$

Somit ist jedes Vektorfeld das ein Potential besitzt konservativ und damit ist das Kurvenintegral

$$\int_\gamma \vec{F} ds$$ wegunabhängig.

Comments

Vielen Dank für die Antwot!