Aloha :)
Schreibe das Gleichungssystem als Matrixgleichung:$$\left(\begin{array}{ccc}t & \frac1t & 1\\[1ex]1 & t & \frac1t\\[1ex]\frac1t & 1 & t\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad t\ne0$$
Da alle Zeilen der Koeffizientenmatrix dieselbe Summe haben, erhältst du durch Multiplikation der Koeffizientenmatrix mit dem Vektor \((1;1;1)^T\) einen Vektor mit gleichen Einträgen:$$\left(\begin{array}{ccc}t & \frac1t & 1\\[1ex]1 & t & \frac1t\\[1ex]\frac1t & 1 & t\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t+\frac1t+1\\[1ex]1+t+\frac1t\\[1ex]\frac1t+1+t\end{pmatrix}=\left(t+1+\frac1t\right)\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$
Der Vorfaktor ist stets \(\ne0\), denn es gilt:$$t+1+\frac1t=\frac1t\left(t^2+t+1\right)=\frac1t\left(t^2+t+\frac14+\frac34\right)=\underbrace{\frac1t}_{\ne0}\,\underbrace{\left(\left(t+\frac12\right)^2+\frac34\right)}_{\ge\frac34}\ne0$$
Wiir dividieren beide Seiten unserer Gleichung durch diesen Wert und erhalten eine mögliche Lösung:$$\left(\begin{array}{ccc}t & \frac1t & 1\\[1ex]1 & t & \frac1t\\[1ex]\frac1t & 1 & t\end{array}\right)\cdot\underbrace{\pink{\frac{1}{\left(t+1+\frac1t\right)}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}}_{\text{eine mögliche Lösung}}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\quad\text{für }t\ne0$$
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Der Fall keiner Lösung scheidet aus, denn wir haben bereits für alle \(t\ne0\) eine Lösung angegeben. Wir müssen daher nur noch untersuchen, für welche \(t\) die angegebene Lösung die einzige ist bzw. für welche \(t\) es unendlich viele Lösungen gibt. Darüber gibt die Determinante der Koeffizientenmatrix Auskunft. Ist sie \(\ne0\) gibt es genau eine Lösung, ist sie \(=0\) gibt es unendlich viele Lösungen.
Wir brauchen also die Determinante der Koeffizientenmatrix....
(1) Man kann einen Faktor aus einer Zeile oder einer Spalte der Determinante vor die Determinante ziehen. Das machen wir hier für jede der 3 Spalten:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}t & \frac1t & 1\\[1ex]1 & t & \frac1t\\[1ex]\frac1t & 1 & t\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}\pink{\frac1t}\cdot t^2 & \green{\frac1t}\cdot1 & \red{\frac1t}\cdot t\\[1ex]\pink{\frac1t}\cdot t & \green{\frac1t}\cdot t^2 & \red{\frac1t}\cdot1\\[1ex]\pink{\frac1t}\cdot1 & \green{\frac1t}\cdot t & \red{\frac1t}\cdot t^2\end{array}\right|=\pink{\frac1t}\cdot\green{\frac1t}\cdot\red{\frac1t}\left|\begin{array}{ccc}t^2 & 1 & t\\t & t^2 & 1\\1 & t & t^2\end{array}\right|$$
(2) Wir subtrahieren das \(t\)-fache der Zeile 3 von der Zeile 2:$$0\stackrel!=\underbrace{\pink{\frac1t}\cdot\green{\frac1t}\cdot\red{\frac1t}}_{=\frac{1}{t^3}}\left|\begin{array}{ccc}t^2 & 1 & t\\t-t\cdot\pink1 & t^2-t\cdot\pink t & 1-t\cdot\pink{t^2}\\1 & t & t^2\end{array}\right|=\frac{1}{t^3}\left|\begin{array}{ccc}t^2 & 1 & t\\0 & 0 & 1-t^3\\1 & t & t^2\end{array}\right|$$
(3) Wir entwickeln die Determinante nach der 2-ten Zeile:$$0\stackrel!=-\frac{1}{t^3}\cdot(1-t^3)\cdot(t^2\cdot t-1\cdot1)=\frac{(t^3-1)^2}{t^3}\implies t=1$$
Nur für den Fall \((t=1)\) gibt es also unendlich viele Lösungen.
Für \(t=1\) sind alle 3 Gleichungen identisch, nämlich:$$x_1+x_2+x_3=1\Longleftrightarrow x_3=1-x_1-x_2$$Wir geben noch alle Lösungen an:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\1-x_1-x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+x_1\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\quad\text{für }t=1$$
Insbesondere ist mit \(x_1=x_2=\frac13\) die oben bereits gefundene Lösung enthalten.
