Existiert für jede Anfangsbedingung eine Lösung der DGL

Question

Aufgabe:

(4+x²)y'(x)-5xy(x)=0

Existiert für die DGL für jede Anfangsbedingung eine Lösung? Begründe oder gib ein Gegenbeispiel an.
Problem/Ansatz:

als Lösung der DGL hab ich y(x)=(4+x²)^5/2 *C

Ich würde mal sagen es gibt für jede Anfangsbedingung eine Lösung, kann das aber nicht begründen und hat auch nicht wirklich einen Plan woran man das festmachen kann. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Answer 1

Ich würde mal sagen, da \( 4 + x^2 \ne 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt, findet man zu jedem \( x_0 \) und jedem \( y_0 \) ein \( A \), s.d. die Anfangsbedingung erfüllt ist. Nämlich $$ A = \frac{y_0}{(x_0^2+4)^\frac{5}{2}} $$

Die Lösung sieht dann so aus

$$  y(x) = y_0 \cdot \left( \frac{x^2+4}{x_0^2+4} \right)^\frac{5}{2} $$ mit \( y(x_0) = x_0 \)