Aufgabe:
Wie zeigt man, dass f in (0,0,0) nicht differenzierbar ist. Geht das mit Richtungsableitung?
Problem/Ansatz:
Gegeben sei eine stetige Funktion f: R^3 -> R, def. durch
(xz^2)/(x^2+y^2+z^2) für (x,y,z) Element R^3 ohne (0,0,0)
und in (0,0,0) ist f(x,y,z) =0.
Ich habe in der Teilaufgabe vorher gezeigt, dass die Richtungsableitung Dvf(0,0,0) existiert fur jedes v Element R^3 mit ||v||=1 und zwar durch v1v3^2.
Wie kann ich jetzt die Differenzierbar in (0,0,0) widerlegen?
Geht das mit diesem Ansatz:
Angenommen , f wäre differenzierbar in (0,0,0).
Dann gälte Dvf(0,0,0) = Skalarprpdukt von v mit dem gradienten von f in (0,0,0) (der gegeben ist durch De1f(0,0,0), De2f(0,0,0), De3f(0,0,0)
v1v3^2.= (0,0,0)^T * v
v1v3^2=0
Widerspruch, da für v Element R^3 mit ||v||=1 die Gleichung gilt,
aber zum Beispiel für v1= 0,5 v3= wurzel(0,75) zwar ||v|| = 1 gilt,
aber v1v3^2 != 0.
Kann man das so widerlegen oder wann geht das?
Sonst kann man es ja auch mit der defintion
1/||h|| (f(h)-f(0)-ableitung*h) probieren, aber da hab ich nicht ganz verstanden, wofür die striche || || stehen.
Ich möchte mich für den langen Roman entschuldigen, aber vielleicht kann mir jemand helfen, da ich bald Klausur habe
