Berechnung Quotientenkriterium für ak=(k/k+1)^(k^2)

Question

Aufgabe: Verwenden Sie das Quotientenkriterium, um folgende Reihe auf ihr Konvergenzverhalten zu untersuchen: Sei ak = (k/(k+1))^k²

Problem/Ansatz: durch Nutzung von |ak+1/ak| komme ich hier zunächst auf ((k+1/k+2)^(k²+2k+1)) * (k+1/k)^k²

^{ich kann die Potenzen noch auseinander ziehen aber ab da fehlt mir der Ansatz, daher würde ich hier um Hilfe bitten. Wie habe ich weiter vorzugehen?}

Comments

Soll das \(a_k=\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^2}\) heißen?

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ja genau. ich weiß leider nicht wie man das hier in der Form schreibt deswegen habe ich es mit vielen klammern ausschreiben müssen

Answer 1

Aloha :)

Wir untersuchen das Konvergenzverhalten der Reihe$$\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\quad;\quad a_k=\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^2}$$mit Hilfe des Quotientenkriteriums:$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{\left(\frac{(k+1)}{(k+1)+1}\right)^{(k+1)^2}}{\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^2}}=\frac{\blue{\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{k^2+2k+1}}}{\pink{\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^2}}}=\blue{\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{2k+1}\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{k^2}}\pink{\left(\frac{k+1}{k}\right)^{k^2}}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|}=\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{2k+1}\left(\frac{(k+1)^2}{(k+2)k}\right)^{k^2}=\left(\frac{k+2-1}{k+2}\right)^{2k+1}\left(\frac{k^2+2k+1}{k^2+2k}\right)^{k^2}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|}=\left(1-\frac{1}{k+2}\right)^{2k+1}\left(1+\frac{1}{k^2+2k}\right)^{k^2}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|}=\left(1-\frac{1}{k+2}\right)^{2k\pink{+4}}\left(1-\frac{1}{k+2}\right)^{\pink{-3}}\left(1+\frac{1}{k^2+2k}\right)^{k^2\green{+2k}}\left(1+\frac{1}{k^2+2k}\right)^{\green{-2k}}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|}=\left[\underbrace{\left(1-\frac{1}{k+2}\right)^{k+2}}_{\to e^{-1}}\right]^2\underbrace{\left(1-\frac{1}{k+2}\right)^{-3}}_{\to1}\;\underbrace{\left(1+\frac{1}{k^2+2k}\right)^{k^2+2k}}_{\to e}\;\underbrace{\left(1+\frac{1}{k^2+2k}\right)^{-2k}}_{\to1}$$

Nun können wir den Grenzwert ablesen:$$\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=(e^{-1})^2\cdot1\cdot e\cdot1=\frac1e<1$$Also konvergiert die Reihe.