Lösungen für a = x/y - y/x

Question

Aufgabe:

Lösungen für a = x/y - y/x

Problem/Ansatz:

Ich möchte gern wissen, ob bei der Gleichung

\( a=x/y-y/x \phantom{10} x>y \phantom{5} x,y \in \mathbb{N} \)

jeder Wert von a nur ein Mal auftritt.

Nach dem Ausmultiplizieren erhält man:

\( a=\frac{x^{2}-y^{2}}{x\cdot{y}} \)

Was bedeutet das nun genau?

Wegen dem Quadrat müssten doch mindestens 2 oder 4 Lösungen möglich sein?

Comments

Offenbar ist \(\dfrac{nx}{ny}-\dfrac{ny}{nx}=\dfrac xy-\dfrac yx\) für alle \(n\in\mathbb N\).

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Die Frage ist also nur interessant für teilerfremde
Paare (x,y).

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Sorry, das hatte ich natürlich vergessen anzugeben.

Also die Frage noch einmal gestellt für teilerfremde x,y ?

Answer 1

Sei \(z=x/y\) mit \(x>y>0\) und \(x,y\) teilerfremde nat. Zahlen.

Nun gilt

\(z-1/z=a\iff z \in \{(a-\sqrt{a^2+4})/2,(a+\sqrt{a^2+4})/2\}\).

Wegen \(z>0\) folgt \(z=(a+\sqrt{a^2+4})/2\),

d.h. \(z\) ist durch \(a\) eindeutig bestimmt.

Wegen der Teilerfremdheit von \(x\) und \(y\) sind aufgrund

der Eindeutigkeit der Primfaktordarstellung von \(z\) die

nat. Zahlen \(x, y\) ebenfalls eindeutig bestimmt.