Untersuchen sie (IR,0) mit aob: 3.Wurzel( a^3+b^3+8) auf Gruppeneigenschaften

Question

Aufgabe:

$$ \text{ Untersuchen Sie } (\mathbb{R},\circ) \text{  } a\circ b := \sqrt[3]{a^3+b^3+8} \text { auf Gruppeneigenschaften.} $$

Problem/Ansatz:

Hier meine Lösung. Wäre dies soweit richtig? Insbesondere G2,G3,G4?

Comments

Du musst noch zeigen, dass zu jedem Element das Inverse
existiert. Erst dann hast du eine Gruppe.
Benutze dabei dein "neu entdecktes" e.

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Mein neues e= -2. Ich kann dazu keine Inverse finden.
Dann wäre es keine Gruppe sondern ein Monoid. Oder liege ich hierbei falsch?

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Gilt nicht \((-2)\circ (-2)=-2\) ?

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Mein neues e= -2. Ich kann dazu keine Inverse finden.

Das Neutrale einer Gruppe ist immer zu sich selbst invers. Das lässt sich in dieser Allgemeinheit zeigen. Will man das nicht, lässt sich \(\left((-2)\circ (-2)\right)\) auch einfach nachrechnen.

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Ok, danke. Ich habe es nochmal angepasst:

Answer 1

Wenn du a mit etwas verknüpfst und dabei etwas anderes (nämlich \( \sqrt[3]{a^3+8} \)) erhältst, dann hast du nicht mit dem neutralen Element verknüpft!

Was du brauchst ist ein e mit der Eigenschaft, dass \( \sqrt[3]{a^3+e^3+8} =a\) gilt.

Comments

Ah ok, demnach wäre e=-2?

Answer 2

\((G_2)\) erinnert ein wenig an die Methode "Beweisen durch Behaupten". Ich würde es so notieren:

$$ \textrm{Seien }a,\:b,\: c \in\mathbb{R}\textrm{ beliebig. Dann gilt wegen}\\ \begin{aligned} \left(a\circ b\right)\circ c &= \sqrt[3\:]{\left(\sqrt[3\:]{a^3+b^3+8}\right)^3+c^3+8} \\ &= \sqrt[3\:]{a^3+b^3+8+c^3+8} \\ &= \sqrt[3\:]{a^3+\left(b^3+c^3+8\right)+8} \\ &= \sqrt[3\:]{a^3+\left(\sqrt[3\:]{b^3+c^3+8}\right)^3+8} \\ &= a\circ\left(b\circ c\right)\end{aligned} $$das Assoziativgesetz.