Ursprungsmatrix durch vorgegebene Basen bestimmen

Question

Hallo Leute ich bräuchte eure Hilfe bei folgender Aufgabe. Die erste Matrix konnte ich herausfinden, aber bei den beiden anderen, schaffe ich das irgendwie nicht.

Geben Sie lineare Abbildungen $f_{1}, f_{2}, f_{3}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ an, sodass gilt:

$U_{1}=\operatorname{kern}\left(f_{1}\right), U_{2}=\operatorname{kern}\left(f_{2}\right), U_{3}=\operatorname{kern}\left(f_{3}\right)$

$\begin{array}{l} U_{1}=\mathcal{L}\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)\right) \\ U_{2}=\mathcal{L}\left(\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right) \\ U_{3}=\mathcal{L}\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 7 \\ 4 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 5 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)\right) \end{array}$

Answer 1

f1 z.B. so:

Du brauchst einen 1-dimensionalen Kern, also muss Bild(f1)

die Dim 2 haben wegen dim Kern + dim Bild = dim R³ = 3.

z.B. so:

$f_1(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -5x+y+z\\-3x+z \end{pmatrix}$

so wird das Bild erzeugt von $\begin{pmatrix} -5\\3 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}und \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$

hat also dim=2 und $\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$ liegt im Kern.

Vielleicht kannst du das auf die anderen Fälle übertragen.

Comments

Ich habe mit deinen Tipps versucht, die 2 Matrix herauszufinden, aber komme trotzdem nicht drauf. Ich weiß, dass der Rang 1 sein muss. Bedeutet nur eine Zeile. Und bei der dritten Matrix, hieße es ja, dass die Matrix den Rang von 0 hätte. Das wäre einfach die Nullmatrix. Ergibt das Sinn?

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Die Matrix ist immer eine 3x2 Matrix, weil es von R³ nach R² geht.

Im zweiten Fall brauchst du - wie du sagst - eine Matrix vom Rang 1

Also zwei linear abhängige Zeilen, damit es auch mit dem Kern stimmt

müsste aber auch für die Matrix

$\begin{pmatrix} a&b&c\\ d&e&f\end{pmatrix}$

0*a - 2*b + 0*c = 0  und 2*d+1*e+0*z = 0 gelten

$\begin{pmatrix} a&0&c\\ d&-2d&f\end{pmatrix}$

und außerdem Rang = 1 also

also die zweite Zeile Vielfaches der ersten, etwa

$\begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}$

Bei der 3. ist dim Kern = 3 (die gegebenen sind lin. unabh.)

also tut es die 0-Matrix

$\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}$