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Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume von ℝ^3?

1) (x1, x2, x3 ) ∈ ℝ^3 : x1 ≥ x2

2) (x1, x2, x) ∈ ℝ^3 : 3x= 2x= x3

3) (x+ x2, x2, x- x) ∈ ℝ^3 : x1, x∈ ℝ

von

2) (x1, x2, x) ∈ ℝ3 : 3x= 2x= x3

Hier kommen alle Vielfachen von (2,3,6) in Frage. Das gibt eine Gerade durch den Koordinatenursprung. Sollte somit ein Unterraum sein.

Zeigen kannst du das ähnlich wie JotEs hier bei 1): https://www.mathelounge.de/126498/zeigen-sie-dass-die-menge-einen-untervektorraum-von-bildet

Du solltest immer nur prüfen ob die Kriterien für einen Untervektorraum erfüllt sind.

Lies dazu auch bei:

--> http://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum

1 Antwort

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Beste Antwort

Bezeichnet man die angegebenen Mengen jeweils mit M , so ist jeweils zu zeigen, dass M die Unterraumkriterien

a) 0 ∈ M

b) r , s ∈ M => ( r + s ) ∈ M (Abgeschlossenheit von M bzgl. der Vektoraddition)

c) a ∈ K , r ∈ M => a * r ∈ M (Abgeschlossenheit von M bzgl. der Skalarmultiplikation)

(Dabei ist K der dem betrachteten Vektorraum zugrunde liegende Körper, vorliegend also K = R)

erfüllt bzw. nicht erfüllt.

 

1)

M = { ( x1, x2, x3 ) ∈ R3 | x1 ≥ x2 }

a) ( 0 , 0 , 0 ) ∈ M

Der Nullvektor ( x1 , x2 , x3 ) = ( 0 , 0 , 0 ) des R3 erfüllt die Definition von M , da gilt: 

x1 = 0 ≥ 0 = x2

Also ist ( 0 , 0 , 0 ) ∈ M

 

b) r, s ∈ M => ( r + s ) ∈ M

Für  alle r , s ∈ M ist auch 

r + s = ( r1 + s1 , r2 + s2 , r3 + s3 ) ∈ M

da wegen r , s ∈ M gilt:

r1 ≥ r2 und s1 ≥ s2

und somit auch gilt:

r1 + s1 ≥ r2 + s2

 

c) a ∈ K, r ∈ M => ( a r ) ∈ M

Für  alle a ∈ K, r ∈ M ist auch 

a * r = ( a r1 , a r2 , a r3 ) ∈ M

da wegen r ∈ M gilt:

r1 ≥ r2

und somit auch gilt:

a r1 ≥ a r2

 

a) , b) und c) sind erfüllt => M ist Untervektorraum des R3

 

EDIT:

In Teil 1c) ist mir leider eine Leichtfertigkeit unterlaufen. Bitte die Kommentare beachten!

 

2)

M = { ( x1, x2, x3 ) ∈ R3 | 3 x1= 2 x= x3 }

Zu zeigen:

a) ( 0 , 0 , 0 ) ∈ M

Der Nullvektor ( x1 , x2 , x3 ) = ( 0 , 0 , 0 ) des R3 erfüllt die Definition von M, da gilt: 

3 x1 = 2 x2 = x3 = 0

Also ist ( 0 , 0 , 0 ) ∈ M

 

b) r, s ∈ M => ( r + s ) ∈ M

Für  alle r , s ∈ M ist auch 

( r + s ) = ( r1 + s1 , r2 + s2 , r3 + s3 ) ∈ M

da wegen r , s ∈ M gilt:

3 r1 = 2 r2 = r3 und 3 s1 = 2 s2 = s3

<=> r1 = ( 1 / 3 ) r3 , r2 = ( 1 / 2 ) r3 , s1 = ( 1 / 3 ) s3 , s2 = ( 1 / 2 ) s3

Somit ist:

( r + s ) = ( ( 1 / 3 ) r3 + ( 1 / 3 ) s3 , ( 1 / 2 ) r3 + ( 1  / 2 ) s3 , r3 + s3 )

sodass also für ( r + s ) gilt:

3 ( ( 1 / 3 ) r3 + ( 1 / 3 ) s3 ) = 2 ( ( 1 / 2 ) r3 + ( 1  / 2 ) s3 ) = r3 + s3

und ( r + s ) somit die Definition von M erfüllt.

 

c) a ∈ K, r ∈ M => ( a * r ) ∈ M

Für  alle a ∈ K, r ∈ M ist auch 

a * r = ( a r1 , a r2 , a r3 ) ∈ M

da wegen r ∈ M gilt:

3 r1 = 2 r2 = r3

<=> r1 = ( 1 / 3 ) r3 , r2 = ( 1 / 2 ) r3

Somit ist:

( a * r )  = ( a * ( 1 / 3 ) r3 , a * ( 1 / 2 ) r3 , a * r3 )

sodass also für ( a * r ) gilt:

3 ( a * ( 1 / 3 ) r3 = 2 ( a * ( 1 / 2 ) r3 = a * r3

und ( a * r ) somit die Definition von M erfüllt.

 

a) , b) und c) sind erfüllt => M ist Untervektorraum des R3

 

3)

M = { ( x+ x2 , x2, x- x) ∈ R3 | x1, x∈ R }

= { ( a , b , c ) ∈ R3 | a = x+ x2 , b = x2, c = x- x2 }

Zu zeigen:

a) ( 0 , 0 , 0 ) ∈ M

Der Nullvektor ( x1 , x2 , x3 ) = ( 0 , 0 , 0 ) des R3 erfüllt die Definition von M, da gilt: 

0 = x1 + x2 = 0 + 0
0 = x22 = 0 * 0 
0 = x1 - x2 = 0 - 0

Also ist ( 0 , 0 , 0 ) ∈ M

 

b)

Gegenbeispiel:

r = ( 5 , 9 , -1 ) ∈ M, da mit x1 = 2, x2 = 3 gilt:

5 = x1 + x2
9 = x22
- 1 = x1 - x2

s = ( 9 , 16 , 1 ) ∈ M, da mit x1 = 5, x2 = 4 gilt:

9 = x1 + x2
16 = x22
1 = x1 - x2

Für ( r + s ) ergibt sich damit:

( r + s ) = ( 14 , 25 , 0 )

Damit nun ( r + s ) ∈ M ist, muss es x1, x2 , x3 ∈ R geben, sodass gilt:

x1 + x2 = 14
x22 = 25
x1 - x2 = 0

Aus der dritten Gleichung folgt:

x1 = x2

und damit aus der ersten Gleichung:

2 x1 = 14 <=> x1 = 7 = x2

Es ist jedoch:

x22 = 7 2 = 49 ≠ 25

Also hat ( r + s ) nicht die Form der Elemente von M und ist daher keines ihrer Elemente.
Damit aber ist die Menge M kein Untervektorraum.

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vielleicht versuchst du es bei 1) doch lieber mit einem Gegenbeispiel

Zu 1c) Sicher, dass aus  r1 ≥ r2  und  a ∈ ℝ  folgt, dass auch  a r1 ≥ a r2  gilt?

Oh, da habe ich wohl etwas zu kurz gedacht ...

Die Folgerung

r1 ≥ r2 => a r1 ≥ a r2

im Teil 1 c ) gilt natürlich nur für a >= 0

Für a < 0 gilt statt dessen:

r1 ≥ r2 => a r1 < a r2

 

Somit gilt

a * r ∈ M

nicht für alle a ∈ K und daher ist M kein Untervektorraum.

Sorry für diese Leichtfertigkeit und danke an die beiden Gäste, die besser aufgepasst haben ... :-).

Ebenfalls danke! Mir wäre das nicht so leicht aufgefallen.

mach' dir einfach Folgendes klar :

Die Unterräume von ℝ3 haben

entweder :  Dimension 0 : nur der Nullpunkt

oder :  Dimension 1 : Gerade durch den Nullpunkt

oder :  Dimension 2 : Ebene durch den Nullpunkt

oder : Dimension 3 : ℝ3

M1 ist ein Halbraum und kann daher kein Vektorraum sein. Jetzt muss man nur noch gucken, welches Kriterium verletzt ist.

Ist ja wirklich einfacher als ich dachte. Na ja, ist ja meistens so, wenn man es erst mal verstanden hat. Danke nochmals an Gast!

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