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Aufgabe:

Auf der Menge Q2 \mathrm{Q}^{2} wird eine Verknüpfung  : Q2×Q2Q2 *: \mathbb{Q}^{2} \times \mathbb{Q}^{2} \rightarrow \mathrm{Q}^{2} durch (a1,b1)(a2,b2) : =(a1a2b1b2,a1b2+b1a2) \left(a_{1}, b_{1}\right) *\left(a_{2}, b_{2}\right):=\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}, a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}\right) definiert. Offensichtlich ist sie kommutativ (d.h. (a1,b1)(a2,b2)=(a2,b2)(a1,b1)) \left.\left(a_{1}, b_{1}\right) *\left(a_{2}, b_{2}\right)=\left(a_{2}, b_{2}\right) *\left(a_{1}, b_{1}\right)\right) . Zeigen Sie durch Rechnungen, dass sie assoziativ ist und dass (1,0) (1,0) ein neutrales Element ist, und finden Sie für jedes (a,b)(0,0) (a, b) \neq(0,0) ein (bezüglich (1,0) (1,0) ) inverses Element.

Bemerkung: Daraus folgt, dass (Q2{0},) \left(Q^{2}-\{0\}, *\right) eine kommutative Gruppe ist.

Zeige durch eine Rechnung, dass die Funktion assoziativ ist.


Problem/Ansatz:

Wie zeige ich, dass die Funktion assoziativ ist ?

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Bestimme ((a1,a2)(b1,b2))(c1,c2)\left(\left(a_1,a_2\right)*\left(b_1,b_2\right)\right)*\left(c_1,c_2\right).

Bestimme (a1,a2)((b1,b2)(c1,c2))\left(a_1,a_2\right)*\left(\left(b_1,b_2\right)*\left(c_1,c_2\right)\right).

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Wie soll ich das bestimmen?

Kannst du mir helfen?

Wie soll ich das bestimmen?

Indem du auf die Definition von * zurückgreifst.

((a1,a2)(b1,b2))(c1,c2)=(a1b1a2b2,a1b2+a2b1)(c1,c2)=((a1b1a2b2)c1(a1b2+a2b1)c2,(a1b1a2b2)c2+(a1b2+a2b1)c2)\begin{aligned} & \left(\left(a_{1},a_{2}\right)*\left(b_{1},b_{2}\right)\right)*\left(c_{1},c_{2}\right)\\ = & \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\right)*\left(c_{1},c_{2}\right)\\ = & \left(\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}\right)c_{1}-\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\right)c_{2},\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}\right)c_{2}+\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\right)c_{2}\right) \end{aligned}

Noch ein paar mal ausmultiplizieren. Dann mit

        (a1,a2)((b1,b2)(c1,c2))\left(a_1,a_2\right)*\left(\left(b_1,b_2\right)*\left(c_1,c_2\right)\right)

das gleiche machen und feststellen dass du das gleiche bekommst.

Kannst du mir erklären, warum ich nur einmal mit c1 multipliziere und 3 mal mit c2 ?

Komme da echt nicht weiter..

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